Y^2-X^4/Monoidring/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}Y^{2}-X^{4}=(Y-X^{2})(Y+X^{2})\,,$

   damit ist die Kurve nicht irreduzibel.

2. Wir betrachten das durch zwei Erzeuger ${}e,f$ mit der einzigen Relation

   ${}2f=4e\,$

   gegebene Monoid ${}M$, damit ist

   ${}{\mathbb {C} }[M]={\mathbb {C} }[X,Y]/(Y^{2}-X^{4})\,.$

3. Wir betrachten

   ${}e=(1,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,$

   und

   ${}f=(2,1)\in \mathbb {N} \times \mathbb {Z} /(2)\,.$

   Dann gilt ${}2f=4e$, alle weiteren Relationen sind aber Vielfache davon, da bei einer Gleichung

   ${}af=be\,$

   mit ${}a,b\in \mathbb {N}$ wegen der ersten Koordinate

   ${}b=2a\,$

   sein muss und wegen der zweiten Koordinate auch ${}a$ gerade sein muss.

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