Z/Binäre quadratische Form/Äquivalenz/Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis

1. Diese beiden Aussagen folgen daraus, dass das Produkt invertierbarer Matrizen (über ${}\mathbb {Z}$) wieder invertierbar ist und aus dem Determinantenmultiplikationssatz.
2. Wir arbeiten mit der Umrechnungsregel für die Koeffizienten in Matrixform, also

   ${}{\begin{pmatrix}a'&{\frac {1}{2}}b'\\{\frac {1}{2}}b'&c'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&t\\s&u\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {1}{2}}b\\{\frac {1}{2}}b&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}r&s\\t&u\end{pmatrix}}\,$

   Der Determinantenmultiplikationssatz liefert

   ${}{\begin{aligned}\operatorname {diskr} (F)&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b'&2c'\\2a'&b'\end{pmatrix}}\\&=-4\cdot (\pm 1)\det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}(\pm 1)\\&=-4\cdot \det {\begin{pmatrix}b&2c\\2a&b\end{pmatrix}}\\&=\operatorname {diskr} (F).\end{aligned}}$

3. Dies folgt unmittelbar aus dem kommutativen Diagramm

   ${\begin{matrix}\mathbb {Z} ^{2}&{\stackrel {M}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{2}&\\&\!\!\!\!\!F'\searrow &\downarrow F\!\!\!\!\!&\\&&\mathbb {Z} &\!\!\!\!\!\!\!\!\,.\\\end{matrix}}$

Zur bewiesenen Aussage