Z/Lokalisiert in Q/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei ${}p$ eine Primzahl und sei

${}R=\mathbb {Z} _{(p)}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid {\text{ in der gekürzten Darstellung von }}q{\text{ ist der Nenner kein Vielfaches von }}p\right\}}\,$

die sogenannte Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(p)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. ${}R$ ist ein Hauptidealbereich, da ja ${}\mathbb {Z}$ ein Hauptidealbereich ist. Die Ideale von ${}R$ sind das Nullideal und die Ideale ${}{\left(p^{n}\right)}$ mit ${}n\in \mathbb {N}$. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (p)$, und Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}p$.