Z/Restklassenring nach Primelementpotenz/Ist zusammenhängend/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}e\in \mathbb {Z} /(p^{n})$ ein idempotentes Element. Dies bedeutet

${}e^{2}=e\,$

und somit ist ${}e(e-1)$ ein Vielfaches von ${}p^{n}$, sagen wir

${}e(e-1)=ap^{n}\,.$

Nehmen wir ${}e\neq 0,1$ an. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung in ${}\mathbb {Z}$ ist

${}e=bp^{i}\,$

und

${}e-1=cp^{j}\,$

mit

${}i+j=n\,.$

Wären ${}i,j\geq 1$, so wäre sowohl ${}e$ als auch ${}e-1$ ein Vielfaches von ${}p$, und das würde dann auch für ${}1=e-(e-1)$ gelten, was nicht der Fall ist. Also ist ${}i=n$ oder ${}j=n$, was ${}e=0$ oder ${}e-1=0$

im Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(p^{n})$ bedeutet.

Zur gelösten Aufgabe