Zunächst sind wegen
Fakt
die Spuren zu Elementen aus ganzzahlig und somit sind auch die in Frage stehenden Diskriminanten ganzzahlig. Man kann also die Diskriminanten bzw. ihre Beträge untereinander der Größe nach vergleichen.
Es sei
ein beliebiges Element. Wir haben zu zeigen, dass sich als eine -Linearkombination
mit
schreiben lässt, wenn die
eine -Basis von mit minimalem Diskriminantenbetrag bilden. Es gibt eine eindeutige Darstellung
-
mit rationalen Zahlen
.
Es sei angenommen, dass ein nicht ganzzahlig ist, wobei wir
annehmen dürfen. Wir schreiben dann
mit
und einer rationalen Zahl
(echt)
zwischen und . Dann ist auch
-
eine -Basis von , die in liegt. Die Übergangsmatrix der beiden Basen ist
-
Nach
Fakt
gilt für die beiden Diskriminanten die Beziehung
-
Wegen
und da die Diskriminanten nach
Fakt
nicht
sind, ist dies ein Widerspruch zur Minimalität der Diskriminante.