Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ eine Ganzheitsbasis von ${}R$. Es ist zu zeigen, dass die ${}\tau ^{\mathbb {R} }(b_{k})$, ${}k=1,\ldots ,n$, linear unabhängig sind. Über die ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung

$\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{2s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r}\times {\mathbb {C} }^{2s},\,{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{r}\\u_{1}\\v_{1}\\\vdots \\u_{s}\\v_{s}\end{pmatrix}}\longmapsto {\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{r}\\u_{1}+{\mathrm {i} }v_{1}\\u_{1}-{\mathrm {i} }v_{1}\\\vdots \\u_{s}+{\mathrm {i} }v_{s}\\u_{s}-{\mathrm {i} }v_{s}\end{pmatrix}},$

erhält man aus der reellen Gesamteinbettung die komplexe Gesamteinbettung. Wären die Elemente ${}\mathbb {R}$-linear abhängig, so würde das auch für die Bilder unter der komplexen Gesamteinbettung gelten. Doch dies wäre ein Widerspruch zur Tatsache, dass die Diskriminante von ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ nicht ${}0$ ist, siehe Fakt.

Zur bewiesenen Aussage