Zahlbereich/Element/Norm/Textabschnitt

Nach Fakt ist die Norm eines Elementes eines Zahlbereiches ganzzahlig.

Lemma

Es sei ${}R$ der Ganzheitsring einer endlichen Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$.

Dann ist ${}f\in R$ genau dann eine Einheit, wenn ${}N(f)=\pm 1$ ist.

Beweis

Wenn ${}f\in R$ eine Einheit ist, so ist ${}fg=1$ mit einem ${}g\in R$ und aus der Multiplikativität der Norm folgt

${}N(f)N(g)=N(1)=1\,,$

woraus nach Fakt ${}N(f)=\pm 1$ folgt. Die Umkehrung folgt aus Fakt und daraus, dass dann die Multiplikationsabbildung zu ${}f$ auf ${}R\cong \mathbb {Z} ^{n}$ bijektiv ist.

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Lemma

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich vom Grad ${}d$ und ${}n\in \mathbb {Z}$.

Dann ist die Norm von ${}n$ in ${}R$ gleich ${}n^{d}$.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

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