Zahlbereich/Endliche Erweiterung/Ordnungsverzweigt/Nichtreduziert/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt liegt in ${}S$ eine Produktzerlegung

${}{\mathfrak {p}}S={\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,$

vor und nach Fakt ist

${}S/{\mathfrak {p}}S\cong S/{\mathfrak {q}}_{1}^{r_{1}}\times \cdots \times S/{\mathfrak {q}}_{k}^{r_{k}}\,.$

Dieser Restklassenring, der der Faserring zu ${}S$ über ${}{\mathfrak {p}}$ ist, ist genau dann reduziert, wenn alle Exponenten ${}r_{i}$ gleich ${}1$ sind. Dies charakterisiert nach Fakt auch die Unverzweigtheit.

Zur bewiesenen Aussage