Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen

$\tau \colon R\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s}$

und die reelle Gittereinbettung

$\tau ^{\mathbb {R} }\colon R\longrightarrow \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s},$

die durch die Einbettung

$\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{r+2s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},\ldots ,z_{s})\longmapsto (x_{1},\ldots ,x_{r};z_{1},{\overline {z_{1}}},\ldots ,z_{s},{\overline {z_{s}}})$

miteinander verbunden sind.

Zu einer ${}\mathbb {Q}$-Basis ${}b_{1},\ldots ,b_{n}$ von ${}Q(R)$ haben wir einerseits die reelle ${}n\times n$-Matrix

${\left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)},$

die sich aus den reellen Einbettungen und Real- und Imaginärteil der komplexen Einbettungen zusammensetzt, und die komplexe ${}n\times n$-Matrix

${\left(\tau _{j}(b_{i})\right)}.$

Wenn man in dieser komplexen Matrix je zwei konjugierte Zeilen ${}w_{j}=\left(\tau _{j}(b_{1}),\,\tau _{j}(b_{2}),\,\ldots ,\,\tau _{j}(b_{n})\right)$ und ${}w_{j+1}={\overline {w_{j}}}=\left({\overline {\tau _{j}(b_{1})}},\,{\overline {\tau _{j}(b_{2})}},\,\ldots ,\,{\overline {\tau _{j}(b_{n})}}\right)$ die darin erste Zeile durch ihre Summe ersetzt und die zweite übernimmt (also ${}w_{j}+w_{j+1}$ und ${}w_{j+1}$), und dann die neue erste Zeile übernimmt und die zweite Zeile durch das ${}{\mathrm {i} }$-fache der ersten Zeile minus das Doppelte der zweiten Zeile ersetzt (also ${}w_{j}+w_{j+1}$ und ${}{\mathrm {i} }(w_{j}+w_{j+1}-2w_{j+1})={\mathrm {i} }(w_{j}-w_{j+1})$), so erhält man das Doppelte der Realteilzeile und das Doppelte der Imaginärteilzeile. Deshalb gilt

${}{\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}=2^{s}{\mathrm {i} }^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)\right)}\,.$

Nach Fakt und Fakt ist

${}{\begin{aligned}{\sqrt {\vert {\triangle (b_{1},\ldots ,b_{n})}\vert }}&=\vert {\left(\det \left(\tau _{j}(b_{i})\right)\right)}\vert \\&=2^{s}{\left(\det \left(\tau _{j}^{\mathbb {R} }(b_{i})\right)\right)}\\&=2^{s}\operatorname {Vol} ({\mathfrak {M}}).\end{aligned}}$

Zur bewiesenen Aussage