Zahlbereich/Hauptdivisor/Berechnung mit Restsatz/Bemerkung

Zu einem Zahlbereich und einem Element , , kann man folgendermaßen den zugehörigen Hauptdivisor bzw. die Primidealzerlegung algorithmisch berechnen. Dabei arbeitet man im Restklassenring und man setzt voraus, dass für selbst eine Restklassendarstellung über vorliegt. Für den Restklassenring hat man dann ebenfalls eine Restklassendarstellung und man weiß, dass dieser endlich ist, also grundsätzlich algorithmisch beherrschbar ist. Das erste Problem ist, die Primideale in zu bestimmen, in denen enthalten ist, doch diese entsprechen den maximalen Idealen von (die zugehörigen Primideale in seien mit bezeichnet). Dabei liegt dann ein Produktring

vor, wobei die lokal mit Restklassenkörper sind. Wegen Fakt weiß man

Man kann nun in die Exponenten jeweils als die minimalen Exponenten mit bestimmen. Bei der Bestimmung der Exponenten hilft auch die Norm. Nach Fakt in Verbindung mit Fakt ist

und aus

kann man wieder die Exponenten bestimmen.