Zahlbereich/Hauptdivisor/Berechnung mit Restsatz/Bemerkung

Zu einem Zahlbereich ${}R$ und einem Element ${}f\in R$, ${}f\neq 0$, kann man folgendermaßen den zugehörigen Hauptdivisor bzw. die Primidealzerlegung ${}(f)={\mathfrak {p}}_{1}^{r_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{k}^{r_{k}}$ algorithmisch berechnen. Dabei arbeitet man im Restklassenring ${}R/(f)$ und man setzt voraus, dass für ${}R$ selbst eine Restklassendarstellung über ${}\mathbb {Z}$ vorliegt. Für den Restklassenring ${}R/(f)$ hat man dann ebenfalls eine Restklassendarstellung und man weiß, dass dieser endlich ist, also grundsätzlich algorithmisch beherrschbar ist. Das erste Problem ist, die Primideale in ${}R$ zu bestimmen, in denen ${}f$ enthalten ist, doch diese entsprechen den maximalen Idealen ${}{\mathfrak {m}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {m}}_{k}$ von ${}R/(f)$ (die zugehörigen Primideale in ${}R$ seien mit ${}{\mathfrak {p}}_{i}$ bezeichnet). Dabei liegt dann ein Produktring

${}R/(f)=R_{1}\times \cdots \times R_{k}\,$

vor, wobei die ${}R_{j}$ lokal mit Restklassenkörper ${}R/{\mathfrak {m}}_{j}=R/{\mathfrak {p}}_{j}$ sind. Wegen Fakt weiß man

${}R/{\mathfrak {p}}_{j}^{r_{j}}=R_{j}\,.$

Man kann nun in ${}R_{j}$ die Exponenten ${}r_{j}$ jeweils als die minimalen Exponenten mit ${}{\mathfrak {m}}_{j}^{r}=0$ bestimmen. Bei der Bestimmung der Exponenten hilft auch die Norm. Nach Fakt in Verbindung mit Fakt ist

${}\vert {N(f)}\vert ={\#\left(R/(f)\right)}=N({\mathfrak {p}}_{1})^{r_{1}}\cdots N({\mathfrak {p}}_{k})^{r_{k}}\,$

und aus

${}{\#\left(R_{j}\right)}=N({\mathfrak {p}}_{j})^{r_{j}}\,$

kann man wieder die Exponenten ${}r_{j}$ bestimmen.