Zahlbereich/Hauptideal/Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Das Hauptideal ${}Rf$ ist das Bild des injektiven Gruppenhomomorphismus

$R\longrightarrow R,\,1\longmapsto f.$

Dieser wird unter einer Identifizierung ${}R=\mathbb {Z} ^{n}$ (also der Wahl einer Ganzheitsbasis von ${}R$) durch die zu ${}f$ gehörende Multiplikationsmatrix ${}M_{f}$ beschrieben. Es liegt insgesamt dias kommutative Diagramm

${\begin{matrix}R&{\stackrel {\mu _{f}}{\longrightarrow }}&R&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&R/fR&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {M_{f}}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} ^{n}/\operatorname {bild} M_{f}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

mit vertikalen Isomorpien vor. Die Determinante von ${}M_{f}$ ist die Norm von ${}f$, und die Anzahl der Elemente in der Restklassengruppe ${}R/fR$ ist die Norm des Hauptideals. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

Zur bewiesenen Aussage