Zahlbereich/Ideal/Element mit beschränkter Norm/Fakt/Beweis

Beweis

Für jede Wahl von positiven reellen Zahlen ${}d_{\tau }$ (wobei ${}\tau$ die komplexen Einbettungen durchläuft, und wobei die Paarbedingung für nichtreelles ${}\tau$ gelte) mit

${}\prod _{\tau }d_{\tau }>\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\vert {\Delta }\vert }}N({\mathfrak {a}})\,$

gibt es nach Fakt ein ${}f\in {\mathfrak {a}}$, ${}f\neq 0$, mit

${}\vert {\tau (f)}\vert <d_{\tau }\,$

für jede komplexe Einbettung ${}\tau$. Nach Fakt ist somit

${}\vert {N(f)}\vert =\prod _{\tau }\vert {\tau (f)}\vert <\prod _{\tau }d_{\tau }\,.$

Würde es kein ${}f$ mit Betragsnorm unterhalb (einschließlich) der angegebenen Grenze geben, könnte man daraus direkt einen Widerspruch produzieren.

Zur bewiesenen Aussage