Zahlbereich/Ideal/Inverses gebrochenes Ideal/(2, 1+sqrt(-5))/Beispiel

Wir betrachten im quadratischen Zahlbereich ${}\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ das Ideal

${}{\mathfrak {a}}=(2,1+{\sqrt {-5}})\,.$

Aufgrund der Gleichung

${}2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})\,$

ist

${\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,{\frac {3}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R,\,1\cdot {\mathfrak {a}}\subseteq R.$

Wir behaupten, dass das inverse gebrochene Ideal ${}{\mathfrak {a}}^{-1}$ gleich

${}{\mathfrak {f}}=R{\left(1,{\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}\right)}\,$

ist, wobei sich die Inklusion ${}{\mathfrak {f}}\subseteq {\mathfrak {a}}^{-1}$ aus der vorstehenden Zeile ergibt. Andererseits gilt wegen

${}-2\cdot 1+(1+{\sqrt {-5}}){\frac {1-{\sqrt {-5}}}{2}}=-2+3=1\,$

für das Produkt

${}{\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {f}}=R\,,$

und dies impliziert nach Aufgabe die Gleichheit ${}{\mathfrak {f}}={\mathfrak {a}}^{-1}$.