Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Für liegt die Faktorisierung

    vor. Ein Element wird genau dann unter auf den Nullvektor abgebildet, wenn in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer beschränkten Teilmenge von aber ja auch im Gitter . Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von auch die zugrunde liegende Menge in endlich. Also haben diese Elemente endliche Ordnung und sind Einheitswurzeln. Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag , wird also unter auf abgebildet.

  2. Sei eine Einheit und sei

    das totale komplexe Einbettungstupel. Nach Fakt ist die Norm von gleich

    Nach Fakt ist der Betrag davon gleich . Unter der komponentenweise genommenen Abbildung

    wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt

    Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass auf der Hyperebene liegt.

  3. Es ist zu zeigen, dass das Bild mit jeder beschränkten Teilmenge von einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter ist endlich.