Zahlbereich/Logarithmische Gesamtabbildung/Grundlegende Eigenschaften/Fakt/Beweis
- Für liegt die Faktorisierung
vor. Ein Element wird genau dann unter auf den Nullvektor abgebildet, wenn in jeder reellen oder komplexen Komponente den Betrag besitzt. Diese Elemente liegen somit alle in einer beschränkten Teilmenge von aber ja auch im Gitter . Daher ist diese Menge endlich und daher ist wegen der Injektivität von auch die zugrunde liegende Menge in endlich. Also haben diese Elemente endliche Ordnung und sind Einheitswurzeln. Umgekehrt ist ein Torsionselement der Einheitengruppe von in jeder Einbettung ein Torsionselement und hat daher den Betrag , wird also unter auf abgebildet.
- Sei
eine Einheit und sei
das totale komplexe Einbettungstupel. Nach Fakt ist die Norm von gleich
Nach Fakt ist der Betrag davon gleich . Unter der komponentenweise genommenen Abbildung
wird dieses Produkt auf die Summe abgebildet, somit gilt
Die letzte Gleichung bedeutet gerade, dass auf der Hyperebene liegt.
- Es ist zu zeigen, dass das Bild mit jeder beschränkten Teilmenge von einen endlichen Durchschnitt besitzt. Das Urbild einer beschränkten Teilmenge unter ist aber auch beschränkt, und der Durchschnitt mit dem Gitter ist endlich.