Zahlbereich/Nenneraufnahme/Element/Rang/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten das multiplikative System ${}S={\left\{f^{n}\mid n\in \mathbb {N} \right\}}$ und ziehen die exakte Sequenz

$1\longrightarrow R^{\times }\longrightarrow R_{S}^{\times }\longrightarrow \mathbb {Z} ^{({\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}})}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {DKG} {\left(R_{S}\right)}\longrightarrow 0$

aus Fakt heran. Dabei ist

${}{\left\{{\mathfrak {p}}\mid {\mathfrak {p}}\cap S\neq \emptyset \right\}}={\left\{{\mathfrak {p}}\mid f\in {\mathfrak {p}}\right\}}=\{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}\,.$

Nach Fakt ist die Einheitswurzelgruppe von ${}R_{f}$ gleich der von ${}R$ (da sie gleich derjenigen des Quotientenkörpers ist), deshalb müssen wir lediglich noch den Rang von ${}R^{\times }$ bestimmen. Nach Fakt ist die Divisorenklassengruppe ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ endlich, deshalb ist der Rang von ${}R^{\times }$ aufgrund des Dirichletschen Einheitensatzes und der Addititvität des Ranges in kurzen exakten Sequenzen gleich

${}\operatorname {rang} \,R_{f}^{\times }=\operatorname {rang} \,R^{\times }+\operatorname {rang} \,\mathbb {Z} ^{\{{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{k}\}}=r+s-1+k\,.$

Zur gelösten Aufgabe