Zahlbereich/Neunter reeller Kreisteilungsring/Nullstellen/Keine dritte Wurzel/Aufgabe/Lösung

Mit der Notation aus Aufgabe ist ${}n=3$, wir wählen ${}p=19$. Es ist wegen

${}3^{3}-3\cdot 3+1=19\,$

die ${}3$ eine Nullstelle von ${}X^{3}-3X+1$, deshalb ist der Faserring über ${}(19)$ das dreifache Produkt aus ${}\mathbb {Z} /(19)$ mit sich selbst. Die Potenzen der ${}3$ in ${}\mathbb {Z} /(19)$ sind

$1,3,9,8,5,15,7,2,6,3^{9}=18=-1,$

deshalb ist ${}3$ ein Erzeuger und kann keine dritte Wurzel besitzen.

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