Zahlbereich/Regulator/Volumen/Fakt/Beweis

Beweis

Zunächst ist wegen dem Beweis zu Fakt das Bild der Einheiten in der Tat ein Gitter in ${}H$. Dabei steht ${}H$ senkrecht auf dem Vektor ${}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$, dessen Länge ist gleich ${}{\sqrt {r+s}}$. Das kanonische Volumen auf ${}H$ (das durch die euklidische Struktur gegeben ist) des durch ${}L(u_{1}),\ldots ,L(u_{r+s-1})$ erzeugten Parallelotops (eben der Grundmasche) ${}P$ stimmt bis auf den Faktor ${}{\sqrt {r+s}}$ mit dem Volumen des Parallelotops ${}P'$ im ${}\mathbb {R} ^{r+s}$ überein, das zusätzlich von ${}{\begin{pmatrix}1\\\vdots \\1\end{pmatrix}}$ erzeugt wird (das Maß eines orthogonalen Zylinders ist Grundvolumen mal Höhe). Nach Fakt ist dieses Volumen der Betrag der Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&L_{1}(u_{1})&\ldots &L_{1}(u_{r+s-1})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&L_{r+s-1}(u_{1})&\ldots &L_{r+s-1}(u_{r+s-1})\\1&L_{r+s}(u_{1})&\ldots &L_{r+s}(u_{r+s-1})\end{pmatrix}}.$

Wenn man aus dieser Matrix, nennen wir sie ${}M'$, die erste Spalte und die letzte Zeile herausnimmt, so erhält man diejenige Matrix ${}M$, deren Determinantenbetrag nach Definition der Regulator ist. Wir addieren nun zur letzten Zeile von ${}M'$ nacheinander jede der übrigen Zeilen hinzu. Dies ergibt in der ersten Spalte den Eintrag ${}r+s$ und in den übrigen Spalten den Eintrag ${}0$, da ja eben ${}L(u_{j})\in H$ ist. Somit ist, da sich bei den Zeilenumformungen nach Fakt  (4) die Determinante nicht ändert, nach dem Entwicklungssatz

${}{\sqrt {r+s}}\operatorname {vol} (P)=\operatorname {vol} (P')=\vert {\det M'}\vert =(r+s)\vert {\det M}\vert =(r+s)\operatorname {Reg} (R)\,,$

also

${}\operatorname {vol} (P)={\sqrt {r+s}}\operatorname {Reg} (R)\,.$

Zur bewiesenen Aussage