Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt

Es sei ${}q$ eine Primzahl mit ${}q\neq \pm 1\mod 9$ (was bei ${}q=2\mod 3$ stets der Fall ist).

Dann ist der Ganzheitsring zur Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [X]/(X^{3}-q)\,$

gleich ${}\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)$.

Bei ${}q=1,-1\mod 9$ ist

${}z={\frac {1+qx+x^{2}}{3}}\,$

ganz über ${}\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)$ mit dem Minimalpolynom

${}T^{3}-T^{2}+{\frac {1-q^{2}}{3}}T-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}=0\,.$

In diesem Fall besitzt der Ganzheitsring die Ganzheitsbasis ${}1,x,z$.

Beweis 1, 2, Alternativen Beweis erstellen