Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir schreiben mit dem Rest . Wir zeigen, dass bei der Ring normal ist, wozu wir Beispiel heranziehen. Es ist lediglich noch zu zeigen, dass das Primideal

in der Lokalisierung ein Hauptideal ist. In gilt der Zusammenhang

Modulo wird der hintere Faktor zu . Dies ist bei ungleich . Der Faktor wird also zu einer Einheit und ebenso wird zu einer Einheit. Deshalb ist in der Lokalisierung die ein Vielfaches von .

Bei ist


Man kann

mit und teilerfremd schreiben, dies ist die Norm von . Wegen

ist dies ein Vielfaches der , d.h. . Wir setzen

mit , , . Die Multiplikationsmatrix zu ist

und das charakteristische Polynom davon ist unter Verwendung von Beispiel gleich

Die Koeffizienten sind dabei

was ganzzahlig ist, und

was wieder nach Voraussetzung ganzzahlig ist. Somit ist

eine Ganzheitsgleichung für , die man auch als

schreiben kann.

Wir betrachten nun

und stellen zunächst fest, dass eine Basis ist, da man als -Linearkombination damit ausdrücken kann, und zwar ist , und . Es ist zu zeigen, dass normal ist, wobei dies vom Anfang her für die Nenneraufnahme an klar ist. Betrachten wir also die Situation oberhalb von . Modulo wird die Ganzheitsgleichung zu

also gibt es die beiden maximalen Ideale und . In ist ein Erzeuger des maximalen Ideals, da ja zu einer Einheit wird.

Sei nun kein Vielfaches von , also . Dann wird der konstante Term im Minimalpolynom für von der einfach geteilt, und daher ist ein Vielfaches von , es liegt also wieder ein Hautideal vor.