Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir schreiben ${}q=9s+r$ mit dem Rest ${}r$. Wir zeigen, dass bei ${}r\neq \pm 1$ der Ring ${}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)$ normal ist, wozu wir Beispiel heranziehen. Es ist lediglich noch zu zeigen, dass das Primideal

${}{\mathfrak {q}}=(X-q,3)\,$

in der Lokalisierung ${}R_{\mathfrak {q}}$ ein Hauptideal ist. In ${}R$ gilt der Zusammenhang

${}{\begin{aligned}(x-q)^{3}&=x^{3}-3x^{2}q+3xq^{2}-q^{3}\\&=q-q^{3}-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q(q^{2}-1)-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q(81s^{2}+18rs+r^{2}-1)-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q3(27s^{2}+6rs+r^{2}-1-x^{2}q+xq^{2})\\&=-q3(27s^{2}+6rs+r^{2}-1+xq(x-q)).\end{aligned}}$

Modulo ${}(x-q,3)$ wird der hintere Faktor zu ${}r^{2}-1\mod 3$. Dies ist bei ${}r\neq \pm 1\mod 9$ ungleich ${}0$. Der Faktor wird also zu einer Einheit und ebenso wird ${}q$ zu einer Einheit. Deshalb ist in der Lokalisierung die ${}3$ ein Vielfaches von ${}(x-q)$.

Bei ${}q=9s\pm 1$ ist

${}{\begin{aligned}(x-q)^{3}&=-q3(27s^{2}+6rs+xq(x-q))\\&=-q9(9s^{2}+2rs)-q3xq(x-q).\end{aligned}}$

Man kann

${}(x-q)(x^{2}+qx+q^{2})=x^{3}-q^{3}=q-q^{3}=q(1-q^{2})=3^{m}\cdot u\,$

mit ${}3$ und ${}u$ teilerfremd schreiben, dies ist die Norm von ${}x-q$. Wegen

${}q^{2}-1=(9s\pm 1)^{2}-1=81s^{2}\pm 18s\,$

ist dies ein Vielfaches der ${}9$, d.h. ${}m\geq 2$. Wir setzen

${}y={\frac {x^{2}+qx+1}{3}}=a+bx+cx^{2}\,$

mit ${}a={\frac {1}{3}}$, ${}b={\frac {q}{3}}$, ${}c={\frac {1}{3}}$. Die Multiplikationsmatrix zu ${}y$ ist

${\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}&{\frac {q^{2}}{3}}\\{\frac {q}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$

und das charakteristische Polynom davon ist unter Verwendung von Beispiel gleich

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}T-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}&-{\frac {q^{2}}{3}}\\-{\frac {q}{3}}&T-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}&T-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\\&=T^{3}-3aT^{2}+(3a^{2}-3bcq)T-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\,\end{aligned}}$

Die Koeffizienten sind dabei

${}{\begin{aligned}3a^{2}-3bcq&={\frac {1-q^{2}}{3}}\\\end{aligned}}$

was ganzzahlig ist, und

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\\&=-\left({\frac {1}{3^{3}}}\right)+\left({\frac {q^{2}}{9}}\right)-\left({\frac {q^{4}}{3^{3}}}\right)-\left({\frac {q^{2}}{3^{3}}}\right)\\&={\frac {-q^{4}+2q^{2}-1}{27}}\\&=-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}\,\end{aligned}}$

was wieder nach Voraussetzung ganzzahlig ist. Somit ist

${}T^{3}-T^{2}+{\frac {1-q^{2}}{3}}T-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}=0\,$

eine Ganzheitsgleichung für ${}y$, die man auch als

${}T^{3}-T^{2}-(27s\pm 6)sT-3(9s\pm 2)^{2}s^{2}=0\,$

schreiben kann.

Wir betrachten nun

${}S=\mathbb {Z} [x,y]\,$

und stellen zunächst fest, dass ${}1,x,y$ eine Basis ist, da man ${}x^{2},xy,y^{2}$ als ${}\mathbb {Z}$-Linearkombination damit ausdrücken kann, und zwar ist ${}x^{2}=3y-qx-1$, ${}xy=qy+{\frac {1-q}{3}}x$ und ${}y^{2}={\frac {q^{2}-1}{9}}+q{\frac {q^{2}-1}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}y$. Es ist zu zeigen, dass ${}S$ normal ist, wobei dies vom Anfang her für die Nenneraufnahme an ${}3$ klar ist. Betrachten wir also die Situation oberhalb von ${}(3)$. Modulo ${}3$ wird die Ganzheitsgleichung zu

${}T^{3}-T^{2}=0\,,$

also gibt es die beiden maximalen Ideale ${}(3,y)$ und ${}(3,y-1)$. In ${}S_{(y-1,3)}$ ist ${}3$ ein Erzeuger des maximalen Ideals, da ja ${}y$ zu einer Einheit wird.

Sei nun ${}s$ kein Vielfaches von ${}3$, also ${}m=2$. Dann wird der konstante Term im Minimalpolynom für ${}y$ von der ${}3$ einfach geteilt, und daher ist ${}3$ ein Vielfaches von ${}y$, es liegt also wieder ein Hautideal vor.

Zur bewiesenen Aussage