Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Mögliche Wurzeln/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Norm der Körpererweiterung ${}Q(R)\subseteq Q(S)$, diese ergibt in ${}S$ die Gleichung

${}u^{d}=N(u)=N(v^{n})=N(v)^{n}\,.$

Nach Aufgabe gibt es ein ${}w\in R$ und natürliche Zahlen ${}k,\ell$ und Einheitswurzeln ${}\zeta ,\xi$ in ${}R$ mit ${}u=\zeta w^{k}$ und ${}N(v)=\xi w^{\ell }$. Nach Voraussetzung muss ${}k=1$ sein. Damit ist

${}u^{d}=(\xi w^{\ell })^{n}=(\xi \zeta ^{-\ell }u^{\ell })^{n}=\eta u^{\ell n}\,$

mit einer Einheitswurzel ${}\eta$. Somit ist

${}d=\ell n$.

Zur gelösten Aufgabe