Zahlbereich/Zetafunktion/Klassenzahlformel/Residuum/Fakt

Klassenzahlformel

Es sei ${}R$ ein Zahlbereich mit Diskriminante ${}\triangle _{R}$, mit ${}r$ reellen Einbettungen, ${}s$ Paaren von komplexen Einbettungen, mit der Klassenzahl ${}h_{R}$, dem Regulator ${}\operatorname {Reg} (R)$ und der Einheitswurzelgruppe ${}\mu _{}{\left(R\right)}$.

Dann gilt für das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion im Punkt ${}1$ die Klassenzahlformel

${}\operatorname {Res} _{1}\left(\zeta _{R}\right)={\frac {2^{r+s}\pi ^{s}\cdot h_{R}\cdot \operatorname {Reg} (R)}{{\#\left(\mu _{}{\left(R\right)}\right)}\cdot {\sqrt {\vert {\triangle _{R}}\vert }}}}\,.$

Einen Beweis erstellen