Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Norm/Beschreibung mit beliebiger Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Die Aussage ist für eine ${}\mathbb {Z}$-Basis der Form ${}a$ und ${}b=\alpha +\beta \omega$, wie sie im Fakt konstruiert wurde, richtig. Für eine beliebige ${}\mathbb {Z}$-Basis${}u,v$ gibt es eine Übergangsmatrix ${}M$ mit ${}u=Ma$ und ${}v=Mb$. Dabei ist ${}M$ ganzzahlig und ihre Determinante hat den Betrag ${}1$, sodass sich der Betrag der Determinante der Basis nicht ändert.

Zur bewiesenen Aussage