Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt

Es sei ${}D\neq 0,1$ eine quadratfreie Zahl und ${}A_{D}$ der zugehörige quadratische Zahlbereich.

Dann gibt es für eine Primzahl ${}p$ die folgenden drei Möglichkeiten:

1. ${}p$ ist prim in ${}A_{D}$.
2. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}^{2}$ ist.
3. Es gibt ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in ${}A_{D}$ derart, dass ${}(p)={\mathfrak {p}}{\overline {\mathfrak {p}}}$ mit ${}{\mathfrak {p}}\neq {\overline {\mathfrak {p}}}$ ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen