Es sei . Wir betrachten den Restklassenring , der eine quadratische Erweiterung des Körpers ist. Damit gibt es nach
Fakt
die drei Möglichkeiten:
- ist ein
Körper.
- ist von der Form
.
- ist der
Produktring
.
Im ersten Fall ist ein Primelement in . Im zweiten Fall besitzt genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich . Nach der in
Aufgabe
bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal mit
(das dem Ideal im Restklassenring entspricht).
Dann ist
(wobei hier ein Repräsentant in sei)
und
.
Im dritten Fall besitzt zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale und gibt mit und mit . Nach
Fakt
ist . Mit ist auch . Wir zeigen, dass ist, d.h., dass die beiden Primideale über konjugiert vorliegen. Da nach
Fakt
bei der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass die Diskriminate nicht teilt.
Bei ist ungerade und ist ein Quadratrest modulo . Es seien und die beiden verschiedenen
(!)
Quadratwurzeln modulo . Dann werden die beiden Primideale durch beschrieben, und diese sind konjugiert.
Bei und ungerade ist nach der
Fakt
über die explizite Beschreibung der Faserringe wieder ein Quadratrest modulo . Es seien und die beiden verschiedenen
(!)
Quadratwurzeln von modulo . Dann ist
und daher sind die beiden Primideale gleich
,
sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.
Bei und ist nach der
Fakt
. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann und . Daher sind die Primideale darüber gegeben durch und . Es ist
und
,
sodass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.