Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Restklassenring/Beschreibung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}r+s\omega$ ein beliebiges Element in ${}A_{D}$. Durch Addition von Vielfachen von ${}b=\alpha +\beta \omega$ kann man erreichen, dass die zweite Komponente zwischen ${}0$ und ${}\beta -1$ liegt. Durch Addition von Vielfachen von ${}a$ kann man dann erreichen, dass auch die erste Komponente zwischen ${}0$ und ${}a-1$ liegt, ohne die zweite Komponente zu verändern. Es wird also jede Restklasse durch Elemente im angegebenen Bereich repräsentiert.

Es seien nun ${}r+s\omega$ und ${}{\tilde {r}}+{\tilde {s}}\omega$ im angegebenen Bereich und angenommen, dass sie das gleiche Element im Restklassenring repräsentieren. Es sei ${}{\tilde {s}}\geq s$. Dann gehört die Differenz ${}{\tilde {r}}-r+({\tilde {s}}-s)\omega$ zu ${}{\mathfrak {a}}$ und die zweite Komponente liegt zwischen ${}0$ und ${}\beta -1$. Aufgrund der Wahl von ${}\beta$ muss diese Komponente ${}0$ sein. Dann ist aber ${}{\tilde {r}}-r$ ein Vielfaches von ${}a$ und wegen ${}\vert {{\tilde {r}}-r}\vert <a$ muss ${}{\tilde {r}}-r=0$ sein, sodass also die beiden Elemente übereinstimmen und der Repräsentant eindeutig ist.

Zur bewiesenen Aussage