Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist e hoch t mal e hoch -y/Aufgabe/Lösung

Wir schreiben

${}y'=e^{t-y}=e^{t}e^{-y}\,,$

es liegt also eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen vor, wir verwenden Fakt. Eine Stammfunktion zu

${}{\frac {1}{e^{-y}}}=e^{y}\,$

ist ${}e^{y}$. Die Umkehrfunktion ist ${}\ln z$. Die Stammfunktionen zu

${}g(t)=e^{t}\,$

sind ${}e^{t}+c$. Daher sind die Lösungen der Differentialgleichung von der Form

$\ln \left(e^{t}+c\right)$

mit einer Konstanten ${}c$, und wobei die Lösungen bei ${}c\geq 0$ auf ${}\mathbb {R}$ und sonst auf ${}]\ln -c,\infty ]$ definiert sind. Die Anfangsbedingung bedeutet

${}\ln \left(e^{0}+c\right)=5\,,$

also ist

${}c=e^{5}-1\,.$

Die Lösung des Anfangswertproblems ist also ${}\ln \left(e^{t}+e^{5}-1\right)$ auf ${}\mathbb {R}$.

Zur gelösten Aufgabe