Zeitunabhängige Differentialgleichung/y' ist y-y^2/Aufgabe/Lösung

Es handelt sich um eine zeitunabhängige eindimensionale Differentialgleichung, die mit dem Ansatz für getrente Variablen gelöst werden kann. Es ist

${}{\frac {1}{y-y^{2}}}={\frac {1}{y}}+{\frac {1}{1-y}}\,,$

eine Stammfunktion davon ist

${}H(y)=\ln y-\ln \left(1-y\right)=\ln \left({\frac {y}{1-y}}\right)\,.$

Dafür müssen wir die Umkehrfunktion bestimmen. Der Ansatz

${}z=\ln \left({\frac {y}{1-y}}\right)\,$

führt auf

${}e^{z}={\frac {y}{1-y}}\,$

und auf

${}(1-y)e^{z}-y=y(-e^{z}-1)+e^{z}=0\,,$

also

${}y={\frac {e^{z}}{e^{z}+1}}\,.$

Die Lösungsfunktionen haben daher die Form

${}y(t)={\frac {e^{t+c}}{e^{t+c}+1}}\,,$

wobei die Anfangsbedingung

${}y(0)={\frac {1}{2}}\,$

über

${}{\frac {e^{c}}{e^{c}+1}}={\frac {1}{2}}\,$

die Konstante ${}c=0$ festlegt. Die Lösung des Anfangswertproblems ist also

${}y(t)={\frac {e^{t}}{e^{t}+1}}\,.$

Zur gelösten Aufgabe