a) Der stetig differenzierbare Weg sei durch
-
gegeben mit
-
für alle . Es seien die Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis von . Dann ist
-
konstant und daher gilt für die Ableitung
-
also ist
-
Damit ist auch
-
und daher ist das Wegintegral längs gleich , da es das Integral über diese Funktion ist.
b) Wenn ein Gradientenfeld ist, so gibt es ein Potential
-
also eine differenzierbare Funktion mit
-
Für zwei Punkte , die vom Nullpunkt den gleichen Abstand
-
haben, gibt es nach
Aufgabe
eine stetig differenzierbare Kurve
-
mit und , die zum Nullpunkt konstant den Abstand besitzt. Mit einem solchen Weg erhält man
-
nach Teil a), sodass der Wert von nur von abhängt. Daher ist
-
mit einer gewissen Funktion
-
Diese ist stetig, da für einen Orthonormalvektor die Beziehung
-
gilt und stetig ist. Für den Gradienten von ist
Wenn umgekehrt
-
ist mit stetig, so sei eine Stammfunktion zu . Wir behaupten, dass
-
ein Potential zum Vektorfeld
ist.