Zentralfeld/Kreisbewegung/Zeitunabhängig/Gradientenfeld/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum und

$F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V,\,(t,v)\longmapsto F(t,v)=g(v)v,$

ein zeitunabhängiges Zentralfeld zur stetig differenzierbaren Funktion

$g\colon V\longrightarrow \mathbb {R} .$

a) Zeige, dass das Wegintegral dieses Vektorfeldes längs eines stetig-differenzierbaren Weges, der zum Nullpunkt einen konstanten Abstand besitzt, gleich ${}0$ ist.

b) Zeige, dass ${}F$ genau dann ein Gradientenfeld ist, wenn es eine stetige Funktion

$f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\longrightarrow \mathbb {R}$

mit

${}g(v)=f(\Vert {v}\Vert )\,$

gibt.

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