Zerfällungskörper/Ist eindeutig/Fakt/Beweis

Beweis

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über den Grad ${}\operatorname {grad} _{K}L_{1}$. Wenn der Grad eins ist, so ist ${}K=L_{1}$ und das Polynom ${}F$ zerfällt bereits über ${}K$ in Linearfaktoren. Dann gehören alle Nullstellen von ${}F$ in einem beliebigen Erweiterungskörper ${}K\subseteq M$ zu ${}K$ selbst. Also ist auch ${}L_{2}=K$. Es sei nun ${}\operatorname {grad} _{K}L_{1}\geq 2$ und die Aussage sei für kleinere Grade bewiesen. Dann zerfällt ${}F$ über ${}K$ nicht in Linearfaktoren. Daher gibt es einen irreduziblen Faktor ${}P$ von ${}F$ mit ${}\operatorname {grad} \,(P)\geq 2$ und ${}K'=K[X]/(P)$ ist nach Fakt und nach Fakt eine Körpererweiterung von ${}K$ vom Grad ${}\geq 2$. Da ${}P$ als Faktor von ${}F$ ebenfalls über ${}L_{1}$ und über ${}L_{2}$ in Linearfaktoren zerfällt, gibt es ${}K$-Algebrahomomorphismen ${}K'\rightarrow L_{1}$ und ${}K'\rightarrow L_{2}$. Diese sind injektiv, so dass ${}K'$ sowohl von ${}L_{1}$ als auch von ${}L_{2}$ ein Unterkörper ist. Nach Fakt sind dann ${}L_{1}$ und ${}L_{2}$ Zerfällungskörper von ${}F\in K'[X]$. Nach Fakt ist

${}\operatorname {grad} _{K'}L_{1}<\operatorname {grad} _{K}L_{1}\,,$

so dass wir auf ${}K',L_{1},L_{2}$ die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es gibt also einen ${}K'$-Algebraisomorphismus

$\varphi \colon L_{1}\longrightarrow L_{2}.$

Dieser ist erst recht ein ${}K$-Algebraisomorphismus.

Zur bewiesenen Aussage