Zielanalyse beim Dartspielen/Sekundarstufe 2

Zyklus 1

Im ersten Zyklus habe ich untersucht, auf welches Feld man beim Dart zielen sollte, um die höchste durchschnittliche Punktzahl zu erreichen. Hierbei wurden folgende Annahmen getroffen, um die Situation zu vereinfachen:

• Man trifft die Dartscheibe immer
• Man trifft entweder das Feld auf das man zielt oder eins der beiden benachbarten Felder
• Die Wahrscheinlichkeit, welches der drei Felder man trifft, ist gleichverteilt.
• Doppel- und Triple- Felder werden der Einfachheit halber ignoriert, dies spielt aber für das Ergebnis keine Rolle
  

Die durchschnittliche Punktzahl kann mit Hilfe des Erwartungswertes berechnet werden. Da die Reihenfolge der Felder auf der Dartscheibe keiner klaren Regel folgt, muss man jedes Feld einzeln berechnen.
Beispielrechnung für den Erwartungswert des Feldes 20:
$E(X)={\frac {1}{3}}*20+{\frac {1}{3}}*5+{\frac {1}{3}}*1$

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Berechnungen:

Somit ist es also in diesem Szenario am sinnvollsten, auf die 7 zu werfen.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus werden die Wahrscheinlichkeiten nun variabel gelassen. Somit wird der Erwartungswert zu einer Funktion, die von der Wahrscheinlichkeit p abhängt, in das Zielfeld zu treffen.
$E(p)=p*Zielfeld+{\frac {1-p}{2}}*Nachbarfeld_{1}+{\frac {1-p}{2}}*Nachbarfeld_{2}$
Somit entstehen für die 20 Felder auch 20 Funktionen. In GeoGebra kann man diese Funktionen anzeigen und deren Schnittpunkte berechnen. Somit kann man feststellen, ab welcher Zielgenauigkeit es sich lohnt, auf das Feld mit der höchsten Punktzahl, der 20, zu werfen:

Wie der Grafik zu entnehmen ist, ist ab p = ${\frac {2}{3}}$ E_20(p) > E_i(p) mit i aus {1,...,19}. Somit lohnt es sich, ab einer Zielgenauigkeit von ${\frac {2}{3}}$ auf die 20 zu werfen.