Zielanalyse beim Dartspielen

Modellierungsthema

Im professionellen Dartsport zielen alle Spieler auf das dreifache 20er-Feld, da so die größte Punkteausbeute erreicht werden kann.
Dartprofis werfen so präzise, dass das 20er-Feld meistens getroffen wird, oft auch das Triple-Feld.
Für weniger gute Spieler ist es allerdings riskant, auf das 20er-Feld zu zielen, da die Nachbarfelder nur 1 bzw. 5 Punkte liefern.
In diesem Modell will ich herausfinden, auf welches Feld man in Abhängigkeit der eigenen Zielgenauigkeit werfen sollte, um möglichst viele Punkte zu erzielen.

Verwendete Größen (nach der Sport- und Wettkampfordnung des Deutschen Dartverbandes)

Maße einer Dartscheibe

Dartscheibe

Double- und Triplering (Innenmaß)	8,0mm
Durchmesser des Doppelbull (Innenmaß)	12,7mm
Größe des gesamten Bull (Innenmaß)	31,8mm
Entfernung vom äußeren Doppeldraht zum Bull	170,0mm
Entfernung vom äußeren Tripledraht zum Bull	107,0mm
Entfernung von einem äußeren Doubledraht zum gegenüberliegenden äußeren Doubledraht	340,0m

Niveauzuordnung

Sekundarstufe l

• Welche Fläche besitzt die Dartscheibe?
• Welche Fläche besitzen die einzelnen Felder und Sektoren?

Sekundarstufe 2

• Auf welche Felder lohnt es sich zu zielen, wenn man höchstens ein Feld daneben wirft?
• Auf welche Felder lohnt es sich bei einer höheren Genauigkeit zu zielen?
• Ab welcher Genauigkeit lohnt es sich, auf das 20er-Feld zu zielen?

Universität

• Erwartungswert bei einem Wurf mit einem Zielkreis
• Erwartungswert bei einem Wurf mit einer Zielscheibe, bestehend aus drei Kreisen
• Erwartungswert bei einem Wurf mit einer Zielscheibe, unterteilt in mehrere Segmente

Zuordnung des Modellierungsthemas zu den Nachhaltigkeitszielen (Sustainable Development Goals)

SDG3 (Good Health and Well-being): Nach einer OECD-Studie ist fast jeder vierte Deutsche fettleibig. Aus diesem Grund und aus vielen mehr ist das Sporttreiben essentiell wichtig für die Gesundheit. Eine Sportart macht dann besonders Spaß und wird regelmäßig ausgeübt, wenn man Erfolge erfährt. Deswegen ist es wichtig zu wissen, auf welche Felder man zielen sollte, sodass die Erfolge nicht aus bleiben.

SDG 5 (Gender Equality) Vor allem im Sport hat Solidarität, Chancengleichheit, Fairplay, Toleranz, Integration und Inklusion einen hohen Stellenwert. Insbesondere die Vereine und Verbände arbeiten nach diesen Werten und Maßstäben und versuchen den Kindern diese zu vermitteln.

Modellierungszyklus

Sekundarstufe 1

Zyklus 1

In diesem Zyklus wird zunächst die Fläche der Dartscheibe berechnet. Die Dartscheibe hat einen Radius von 17cm, aus der Formel für die Fläche eines Kreises $A=\pi *r^{2}$ ergibt sich eine Gesamtfläche von etwa $907.02cm^{2}$ Möchte man nun beispielsweise aus einem Holzbrett eine Dartscheibe bauen, benötigt man ein quadratisches Brett mit der Seitenlänge des Durchmessers der Scheibe. Das Holzbrett müsste demnach eine Fläche von $34cm*34cm=1156cm^{2}$ besitzen.
Da für eine richtige Dartscheibe außen noch ein Rand gelassen werden müsste, damit der Drahtring mit den Beschriftungen der Felder angebracht werden kann, kann man wahlweise noch einen etwa 5cm großen Rand hinzufügen. Somit würde die Dartscheibe eine Fläche von
$A=\pi *r^{2}=\pi *(17+5)^{2}=1520.53cm^{2}$
ergeben. Das dazugehörige quadratische Holzbrett weist dementsprechend eine Fläche von $44cm*44cm=1936cm^{2}$ auf.

Zyklus 2

Im einem zweiten Zyklus kann man nun die einzelnen Felder und Segmente der Dartscheibe betrachten. Die Dartscheibe ist ein Kreis mit der Fläche $907.02cm^{2}$. Die Scheibe besteht aus 20 Sektoren, somit besitzt ein Sektor eine Fläche von
${\frac {907.02cm^{2}}{20}}\thickapprox 45.40cm^{2}$.
Um die Fläche für ein Doppel- oder Triplefeld auszurechnen, kann man die Fläche eines so berechneten Kreissektors des inneren Feldkreises von dem des äußeren Feldkreises abziehen und erhält somit folgende Ergebnisse:
Doppelfeld: $A_{D}={\frac {\pi *17^{2}}{20}}-{\frac {\pi *16.2^{2}}{20}}\thickapprox 4.17cm^{2}$
Triplefeld: $A_{T}={\frac {\pi *10.7^{2}}{20}}-{\frac {\pi *9.9^{2}}{20}}\thickapprox 2.59cm^{2}$

Sekundarstufe 2

Zyklus 1

Im ersten Zyklus habe ich untersucht, auf welches Feld man beim Dart zielen sollte, um die höchste durchschnittliche Punktzahl zu erreichen. Hierbei wurden folgende Annahmen getroffen, um die Situation zu vereinfachen:

• Man trifft die Dartscheibe immer
• Man trifft entweder das Feld auf das man zielt oder eins der beiden benachbarten Felder
• Die Wahrscheinlichkeit, welches der drei Felder man trifft, ist gleichverteilt.
• Doppel- und Triple- Felder werden der Einfachheit halber ignoriert, dies spielt aber für das Ergebnis keine Rolle
  

Die durchschnittliche Punktzahl kann mit Hilfe des Erwartungswertes berechnet werden. Da die Reihenfolge der Felder auf der Dartscheibe keiner klaren Regel folgt, muss man jedes Feld einzeln berechnen.
Beispielrechnung für den Erwartungswert des Feldes 20:
$E(X)={\frac {1}{3}}*20+{\frac {1}{3}}*5+{\frac {1}{3}}*1$

Die folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der einzelnen Berechnungen:

Somit ist es also in diesem Szenario am sinnvollsten, auf die 7 zu werfen.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus werden die Wahrscheinlichkeiten nun variabel gelassen. Somit wird der Erwartungswert zu einer Funktion, die von der Wahrscheinlichkeit p abhängt, in das Zielfeld zu treffen.
$E(p)=p*Zielfeld+{\frac {1-p}{2}}*Nachbarfeld_{1}+{\frac {1-p}{2}}*Nachbarfeld_{2}$
Somit entstehen für die 20 Felder auch 20 Funktionen. In GeoGebra kann man diese Funktionen anzeigen und deren Schnittpunkte berechnen. Somit kann man feststellen, ab welcher Zielgenauigkeit es sich lohnt, auf das Feld mit der höchsten Punktzahl, der 20, zu werfen:

Wie der Grafik zu entnehmen ist, ist ab p = ${\frac {2}{3}}$ E_20(p) > E_i(p) mit i aus {1,...,19}. Somit lohnt es sich, ab einer Zielgenauigkeit von ${\frac {2}{3}}$ auf die 20 zu werfen.

Universitätsniveau

Zyklus 1

Im ersten Zyklus wird angenommen, dass der Werfer einen bestimmten Zielkreis besitzt, sodass jeder Wurf innerhalb dieses Zielkreises landet. Es wird angenommen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit innerhalb dieses Zielkreises gleichverteilt ist. Die erwarteten Punkte werden nun anhand des prozentualen Flächenanteils der Felder errechnet, die innerhalb des Zielkreises liegen. Füllt beispielsweise das 20er Feld 25% der Fläche des Zielkreises, so wird angenommen, dass der Werfer mit einer Wahrscheinlichkeit von 25% das 20er Feld trifft. Damit man den prozentualen Anteil der Fläche berechnen kann, werden sowohl der Zielkreis, als auch die Begrenzungen der Felder der Scheibe als Funktionen angenommen. Die Scheibe wird dabei im Koordinatensystem so platziert, dass der Mittelpunkt der Scheibe bei (0/0) liegt. Die Funktion eines Halbkreises lautet $f(x)=sqrt(r^{2}-x^{2})$. Da die Stammfunktion sehr kompliziert zu bilden ist, werden die Kreise nun über Taylorpolynome angenähert, um einfacher rechnen zu können. Die so modellierte Dartscheibe sieht folgendermaßen aus:

Zu sehen ist, dass die Annäherung über die Taylorpolynome an der Entwicklungsstelle x=0 sehr genau ist, je weiter man sich von der Entwicklungsstelle entfernt, desto mehr unterscheidet sich das Taylorpolynom von der Ursprungsfunktion. Dies ist jedoch nicht sonderlich relevant, da es genügt, den Bereich um die Entwicklungsstelle zu betrachten, da sich dort der Zielkreis befindet. Auf alle anderen Felder kann man dann die Berechnungen übernehmen, da die Dartscheibe vollkommen symmetrisch ist. Nun kann man alle Flächen mit Hilfe von Integration berechnen und deren prozentualen Anteil von der Gesamtfläche ermitteln:

Bei einem Zielradius von 4cm ergeben sich z.B. folgende Werte:

Zielfeld Einzel: 45% Zielfeld Triple: 5% Nachbarfeld Einzel: je 21% Nachbarfeld Triple: je 4%

Berechnet man nun die Erwartungswerte der einzelnen Felder, kommt man zu folgendem Ergebnis:

Es ist also ratsam, auf die 7 zu zielen.

Zyklus 2

Im zweiten Zyklus wird der Zielkreis in drei Kreise mit unterschiedlichem Radius unterteilt.

Dartscheibe modeliert

Der Werfer kann sich diese Zielkreise beispielsweise ausdrucken und an der Dartscheibe befestigen. Nun versucht der Werfer einige Darts genau in die Mitte zu werfen. Es werden die Treffer in den einzelnen Zielkreisen gezählt und daraus die Zielgenauigkeit bestimmt. Erneut wird mit diesen nun präziseren Werten mit Hilfe des Erwartungswertes das Feld bestimmt, bei dem abhängig von der Zielgenauigkeit die meisten Punkte zu erwarten sind. Bei einer Trefferverteilung von: Inneres Feld: 60% Mittleres Feld: 30% Äußeres Feld: 10% ergeben sich beispielsweise folgende Erwartungswerte:

Dieser Spieler würde somit durchschnittlich die meisten Punkte erzielen, wenn er auf das 19er-Feld zielt.

Zyklus 3

In einem dritten Zyklus wird die Ermittlung der Zielgenauigkeit noch weiter verbessert, indem die Zielkreise durch zwei Geraden in 8 verschiedene Felder unterteilt werden:

Mit dem gleichen Prinzip wie schon in Zyklus 1 und 2 kann man nun wieder ermitteln, auf welches Feld am besten gezielt werden sollte, um möglichst viele Punkte zu erzielen. Durch die Unterteilung in 8 Felder können nun auch Zielungenauigkeiten wie eine Tendenz zu einer Seite berücksichtigt werden:

Der Spieler in diesem Beispiel würde für eine optimale Punkteausbeute ebenfalls auf das 19er-Feld werfen.

Modellierungsalternativen/ Reflexion

Das Modell berücksichtigt die Treffererfolge für jedes Ziel Feld in gleicher Art. Das ist kein optimales Ergebnis, da die Felder nicht in einer geraden Linie liegen, somit würde die Triple 6 zum Beispiel auch noch getroffen werden, wenn der Werfer zu weit nach oben oder unten zielt und die Triple 20, wenn zu weit nach links oder rechts gezielt wird. Umgekehrt ist dies jedoch nicht der Fall. Auch interessant wäre zu beobachten, was passieren würde, wenn der Zielpunkt wo anders wäre, könnte sich das positiv auf das Wurfergebnis auswerten? Eine weitere Schwäche der Modellierung sind die fest gewählten Radien der Zielscheibenkreise.