Zwei lineare Gleichungen/Drei Variablen/Parameter/Trivialisierung/Beispiel

Wir betrachten das allgemeine reelle lineare Gleichungssystem

${}au+bv+cw=0\,,$

und

${}du+ev+fw=0\,,$

in den Variablen ${}u,v,w$ und den Parametern ${}a,b,c,d,e,f$, die als unbestimmte Koeffizienten des linearen Gleichungssystems dienen. Wenn die Parameter hinreichend allgemein sind, genauer, wenn zwischen den beiden Gleichungen keine lineare Relation besteht, so ist der Lösungsraum

${}L_{(a,b,c,d,e,f)}={\left\{(u,v,w)\mid au+bv+cw=0{\text{ und }}du+ev+fw=0\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

jeweils eine Gerade im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Die Parameter definieren also unter dieser Bedingung eine Familie von variierenden Geraden im ${}\mathbb {R} ^{3}$. Der relevante (für die Geradenfamilie) Parameterraum ist

${}P={\left\{\left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f\right)\mid \left(a,\,b,\,c\right){\text{ und }}\left(d,\,e,\,f\right){\text{ linear unabhängig}}\right\}}\,,$

es liegt insgesamt der totale Lösungsraum

${}L={\left\{\left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,u,\,v,\,w\right)\mid au+bv+cw=0{\text{ und }}du+ev+fw=0\right\}}\subseteq P\times \mathbb {R} ^{3}\,$

mit der Projektion auf ${}P$ vor.

Kann man diese Gerade bzw. ein Basiselement dafür in Abhängigkeit der Parameter global angeben? Wenn man die beiden zu erfüllenden Gleichungen als Orthogonalitätsrelationen betrachtet, so geht es um einen nichttrivialen Vektor, der auf beiden Bedingungsvektoren ${}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}e\\f\\g\end{pmatrix}}$ senkrecht steht. Diese Eigenschaft erfüllt bekanntlich das Kreuzprodukt der beiden Vektoren, also ${}{\begin{pmatrix}bf-ce\\-af+cd\\ae-bd\end{pmatrix}}$ (siehe Fakt für die relevanten Eigenschaften des Kreuzproduktes).

Insgesamt liegt also eine Bijektion

$P\times \mathbb {R} \longrightarrow L,\,\left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,s\right)\longmapsto \left(a,\,b,\,c,\,d,\,e,\,f,\,s(bf-ce),\,s(-af+ce),\,s(ae-bd)\right),$

vor.