Zwischenwertsatz/Dedekindscher Schnitte/Indikatorfunktion/Aufgabe

Es sei ${}(A,B)$ ein Dedekindscher Schnitt und sei

f\colon \mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Q}

durch

{}f(x)={\begin{cases}0\,,{\text{ falls }}x\in A\,,\\1\,,{\text{ falls }}x\in B\,,\end{cases}}\,

definiert. Zeige, dass ${}f$ genau dann stetig ist, wenn ${}(A,B)$ eine irrationale Zahl

beschreibt.