Zykel/Minimalpolynom/Aufgabe/Lösung

a) Es sei

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n-1}X^{n-1}\,.$

Wegen ${}M^{i}(e_{1})=e_{i+1}$ für ${}i<n$ ist dann

${}{\begin{aligned}(P(M))(e_{1})&={\left(a_{0}+a_{1}M+a_{2}M^{2}+\cdots +a_{n-1}M^{n-1}\right)}(e_{1})\\&=a_{0}e_{1}+a_{1}M(e_{1})+a_{2}M^{2}(e_{1})+\cdots +a_{n-1}M^{n-1}(e_{1})\\&=a_{0}e_{1}+a_{1}e_{2}+a_{2}e_{3}+\cdots +a_{n-1}e_{n}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}e_{i+1}.\end{aligned}}$

b) Das Minimalpolynom ist ${}X^{n}-1$. Da der Zykel die Ordnung ${}n$ besitzt, ist

${}M^{n}=E_{n}\,$

und daher annulliert ${}X^{n}-1$ die Matrix. Für ein von ${}0$ verschiedenes Polynom ${}P$ vom Grad ${}<n$ ist nach Teil a) ${}(P(M))(e_{1})\neq 0$, also ${}P(M)\neq 0$ und somit ist ${}X^{n}-1$ das annullierende Polynom minimalen Grades.

c) Wir betrachten im ${}\mathbb {R} ^{2}$ eine Drehung ${}\varphi$ um ${}120$ Grad. Es sei ${}v_{1}=e_{1}$ und ${}v_{2}=\varphi (e_{1})$ und ${}v_{3}=\varphi (v_{2})$. Die dritte Potenz von ${}\varphi$ ist die Identität, daher ist insbesondere

${}\varphi (v_{3})=e_{1}\,.$

Da sich alles in der Dimension ${}2$ abspielt, besitzt das charakteristische Polynom den Grad ${}2$ und annulliert diesen Endomorphismus.

Zur gelösten Aufgabe