Kurs:Analysis (Osnabrück 2014-2016)/Teil III/Arbeitsblatt 62
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe
Es sei ein metrischer Raum. Zeige, dass in die sogenannte Hausdorff-Eigenschaft gilt, d.h. zu je zwei verschiedenen Punkten und gibt es offene Mengen und mit
Aufgabe *
Zeige, dass in einem Hausdorff-Raum jeder Punkt abgeschlossen ist.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass dann auch jeder Unterraum mit der induzierten Topologie eine abzählbare Basis besitzt.
Aufgabe
Es sei ein topologischer Raum mit einer abzählbaren Basis. Zeige, dass es zu jeder Überdeckung mit offenen Mengen eine abzählbare Teilüberdeckung gibt.
Aufgabe *
Es sei ein topologischer Raum und sei die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen
mit offenen Mengen und abgeschlossenen Mengen besteht.
Aufgabe
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Menge der Nullmengen von ein Mengen-Präring ist.
Aufgabe
Es sei ein Maßraum. Zeige, dass die Mengen
einen Mengen-Präring, aber im Allgemeinen keine Mengen-Algebra bilden.
Aufgabe *
Es sei ein Messraum und und seien Maße darauf.
a) Ist die durch
für definierte Abbildung ein Maß?
b) Ist die durch
für definierte Abbildung ein Maß?
Aufgabe
Es sei ein Maßraum und . Zeige, dass durch
ein Maß auf definiert ist.[1] Diskutiere insbesondere die Teilmengen mit .
Aufgabe
Es sei ein Messraum, der als abzählbare disjunkte Vereinigung
mit gegeben ist. Es seien , , Maße auf . Zeige, dass es ein eindeutiges Maß auf derart gibt, dass die Einschränkungen von auf die mit übereinstimmen.
Aufgabe
Es sei ein Messraum. Wir nennen ein Maß auf explosiv, wenn es lediglich die Werte und annimmt.
a) Zeige, dass (für ) durch
ein Maß definiert ist.
b) Es sei ein Maß auf . Zeige, dass durch
ebenfalls ein Maß definiert ist.
Aufgabe
Bestimme die Belegungsfunktion zu einem Dirac-Maß.
Aufgabe
Man mache sich klar, dass die Maßtheorie auf den natürlichen Zahlen „nahezu“ äquivalent ist zur Theorie der Reihen mit nichtnegativen reellen Summanden. Warum nur nahezu? Welches maßtheoretische Konzept korrespondiert dabei zur Konvergenz der Reihe?
Aufgabe
Der Messraum sei mit dem Maß versehen, bei der die Zahl den Wert erhält. Bestimme für möglichst viele Teilmengen den Wert .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es eine abzählbare Familie von offenen Bällen im gibt, die eine Basis der Topologie bilden.
Aufgabe (4 Punkte)
Es sei ein Hausdorff-Raum und es seien zwei disjunkte endliche Teilmengen. Zeige, dass es offene Mengen mit , und mit gibt.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass es auf jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ein wohldefiniertes Konzept von Borel-Mengen gibt.
Aufgabe (7 Punkte)
- Fußnoten
- ↑ Dieses Maß nennt man das mit umskalierte Maß.
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