Überlagerung/Homotope Wege/Liftung/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei

eine Homotopie zwischen den beiden Wegen und . Es gibt wegen der Kompaktheit von (bzw. dem Bild ) eine Zerlegung von in ein Rechtecksnetz aus achsenparallelen Rechtecken , , , derart, dass in einer offenen Menge liegt, bezüglich der die Überlagerung trivialisiert. Die Liftung für einen einzigen Punkt legt dann eine eindeutige Liftung für das ganze Rechteck fest. Wir betrachten die „dünnen“ Rechtecke , wobei die Einschränkungen von auf den Rändern unten und oben zu (und ) homotope Wege sind. Wir können also die Aussage durch Induktion über beweisen und müssen zeigen, dass die Liftungen des unteren Randes und des oberen Randes homotop sind. Die nach Fakt eindeutige Liftung des unteren Weges mit der Anfangsbedingung legen eine eindeutige Liftung von für jedes Rechteck fest. Diese Liftung beinhaltet die eindeutige Liftung des oberen Weges und zeigt, dass diese Wege über zueinander homotop sind. Die Liftung des rechten Randes von zeigt