Überlagerung/Liftungen/Übersicht/Textabschnitt
Eine grundlegende Eigenschaft von Überlagerungen ist es, dass Wege und Homotopien entlang der Überlagerung geliftet werden können.
Definition
Es seien und topologische Räume. Zu einer stetigen Abbildung und einem stetigen Weg
nennt man einen stetigen Weg
mit
eine Liftung von .
Satz
Es sei eine Überlagerung, ein stetiger Weg und ein Punkt mit .
Dann gibt es genau einen stetigen Weg
mit der Eigenschaft, dass und ist.
Beweis
Zu jedem Punkt gibt es eine offene Umgebung derart, dass oberhalb von trivialisiert, d.h. ist die disjunkte Vereinigung von zu über homöomorphen offenen Teilmengen von . Aufgrund der Kompaktheit von gibt es somit endlich viele offene Mengen mit dieser Eigenschaft und mit , mit für alle (da zusammenhängend ist) und mit . Es sei mit aufsteigenden Zeitpunkten . Es sei diejenige zu homöomorphe Teilmenge von , die enthält. Dann gibt es für den auf eingeschränkten Weg nur die Liftung . Dieser Weg hat für einen eindeutigen Endpunkt in , sagen wir
Dazu gehört wiederum eine eindeutige offene Menge homöomorph zu und es gibt eine eindeutige Fortsetzung von dem bisher konstruierten nach . So induktiv fortfahrend erhält man die gesamte eindeutige Liftung des Weges.