Abgeschlossenes Intervall/Offenes Intervall/Nicht homöomorph/Aufgabe/Lösung

Die Folge ${}x_{n}={\frac {1}{n}}$, ${}n\in \mathbb {N} _{+}$, liegt in ${}]0,1[$, sie besitzt dort aber keinen Häufungspunkt (und keine konvergente Teilfolge). Nehmen wir an, es gebe eine Homöomorphie

$\varphi \colon ]0,1[\longrightarrow [0,1].$

Dann hat die Bildfolge ${}y_{n}=\varphi (x_{n})$ die gleichen Eigenschaften. Diese beschränkte Folge besitzt aber nach dem Satz von Bolzano-Weierstrass in ${}\mathbb {R}$ eine konvergente Teilfolge, die gegen ${}y\in \mathbb {R}$ konvergiert. Da ${}[0,1]$ abgeschlossen ist, gilt ${}y\in [0,1]$ nach Fakt-

Widerspruch.

Zur gelösten Aufgabe