Achter Kreisteilungskörper/Homogene Einheiten und m-Wurzeln/Andere Wurzeln/Beispiel

Der achte Kreisteilungskörper über ${}\mathbb {Q}$, also die (siehe Fakt) (mehrfach) graduierte Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq L=K_{8}=\mathbb {Q} [{\mathrm {i} },{\sqrt {2}}]=\mathbb {Q} [X]/(X^{4}+1)\,$

ist eine Kummererweiterung zum Exponenten ${}2$ mit Galoisgruppe ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$. Die gemäß Fakt zugehörige ${}\mathbb {Z} /(2)\times \mathbb {Z} /(2)$-Graduierung ist

$\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }\oplus \mathbb {Q} {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} {\mathrm {i} }{\sqrt {2}}.$

Nach Fakt gilt ${}H^{\times }={\left\{a\in L^{\times }\mid a^{2}\in \mathbb {Q} \right\}}$, d.h. die Menge der rationalen Quadratwurzeln von ${}L$ sind einfach beschreibbar. Es gibt aber auch noch weitere Wurzeln aus rationalen Zahlen in ${}L$, beispielsweise die achte Einheitswurzel ${}\zeta _{8}$, die eine vierte Wurzel von ${}-1$ ist.