Adjungierte Matrix/Cramersche Regel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Zu einer quadratischen Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt

M^{\operatorname {adj} }=(b_{ij}){\text{ mit }}b_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ji},

wobei ${}M_{ji}$ die Streichungsmatrix zur ${}j$ -ten Zeile und zur ${}i$ -ten Spalte ist, die adjungierte Matrix (Adjunkte) von ${}M$ .

Achtung, bei der Definition der Einträge der adjungierten Matrix werden Zeilen und Spalten vertauscht.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$ -Matrix über ${}K$ .

Dann ist

${}(M^{\operatorname {adj} })\cdot M=(\det M)E_{n}=M\cdot (M^{\operatorname {adj} })\,$

Wenn ${}M$ invertierbar ist, so ist

{}M^{-1}={\frac {1}{\det M}}\cdot M^{\operatorname {adj} }\,.

Beweis

Es sei ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ . Die Koeffizienten der adjungierten Matrix seien

{}b_{ik}=(-1)^{i+k}\det M_{ki}\,.

Die Koeffizienten des Produktes ${}(M^{\operatorname {adj} })\cdot M$ sind

{}c_{ij}=\sum _{k=1}^{n}b_{ik}a_{kj}=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}\,.

Bei ${}j=i$ ist dies ${}\det M$ , da es sich bei dieser Summe um die Entwicklung der Determinante nach der ${}j$ -ten Spalte handelt. Es sei ${}j\neq i$ und es sei ${}N$ die Matrix, die aus ${}M$ entsteht, wenn man in ${}M$ die ${}i$ -te Spalte durch die ${}j$ -te Spalte ersetzt. Wenn man ${}N$ nach der ${}i$ -ten Spalte entwickelt, so ist dies

{}0=\det N=\sum _{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{kj}\det M_{ki}=c_{ij}\,.

Also sind diese Koeffizienten ${}0$ , und damit stimmt die erste Gleichung.
Die zweite Gleichung ergibt sich ebenso, wobei man die Entwicklung der Determinante nach den verschiedenen Zeilen ausnutzen muss.

\Box

Die folgende Aussage heißt Cramersche Regel.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und

{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&c_{n}\end{matrix}}

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem. Es sei vorausgesetzt, dass die beschreibende Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}$ invertierbar sei.

Dann erhält man die eindeutige Lösung für ${}x_{j}$ durch ${}x_{j}={\frac {\det {\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1,j-1}&c_{1}&a_{1,j+1}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{n,j-1}&c_{n}&a_{n,j+1}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}}{\det M}}$ .

Beweis

Für eine invertierbare Matrix ${}M$ ergibt sich die Lösung für das lineare Gleichungssystem ${}Mx=c$ , indem man ${}M^{-1}$ anwendet, d.h. es ist ${}x=M^{-1}c$ . Unter Verwendung von Fakt bedeutet dies ${}x={\frac {1}{\det M}}(M^{\operatorname {adj} })c$ . Für die ${}j$ -te Komponente bedeutet dies