Affin-lineare Abbildung/Vorgabe auf affiner Basis/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}i_{0}\in I$. Es gibt nach Fakt eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit

${}\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}P_{i}}})={\overrightarrow {Q_{i_{0}}Q_{i}}}\,,$

für alle ${}i\in I\setminus \{i_{0}\}$. Dann ist

${}\psi (R)=Q_{i_{0}}+\varphi ({\overrightarrow {P_{i_{0}}R}})\,$

eine affin-lineare Abbildung mit der gewünschten Eigenschaft. Umgekehrt ist eine solche affine Abbildung ${}\psi$ durch den linearen Anteil und durch den Wert an einem einzigen Punkt eindeutig festgelegt, sodass

${}\psi _{0}=\varphi \,$

sein muss.

Zur bewiesenen Aussage