Affine Varietät/Punkt/Jacobi-Matrix/Glattheit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome. Es sei ${}P\in K^{n}$ ein Punkt. Dann heißt die Matrix

${}\operatorname {Jak} (f_{1},\ldots ,f_{m})_{P}:={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}(P)\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}(P)&\ldots &{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}(P)\end{pmatrix}}\,$

die Jacobi-Matrix zu ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ im Punkt ${}P$.

Für ${}K={\mathbb {K} }$ beschreibt die Jacobi-Matrix das totale Differential. Wenn die Jacobi-Matrix in einem Punkt ${}P$ surjektiv ist, als ihr Rang gleich ${}m$ ist, so gilt der Satz über implizite Abbildungen, der besagt, dass die Faser durch ${}P$ von ${}f_{1},\ldots ,f_{m}$ in einer offenen Umgebung von ${}P$ diffeomorph zu ${}{\mathbb {K} }^{n-m}$ ist. Die Faser ist also lokal um ${}P$ eine Mannigfaltigkeit.

Dies führt zur folgenden Definition

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien ${}F_{1},\ldots ,F_{s}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ Polynome mit der zugehörigen affinen Varietät

${}Y=V(F_{1},\ldots ,F_{s})\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\,,$

die irreduzibel sei und die Dimension ${}d$ besitze. Es sei ${}P\in Y$ ein abgeschlossener Punkt. Dann heißt ${}P$ ein glatter Punkt von ${}Y$, wenn der Rang der Matrix

${\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial X_{j}}}\right)}_{i,j}$

im Punkt ${}P$ mindestens ${}n-d$ ist. Andernfalls heißt der Punkt singulär.