Affine Varietäten/Zerlegung in irreduzible Komponenten/Textabschnitt

Aus dem Hilbertschen Basissatz folgt, dass eine aufsteigende Idealkette

${\mathfrak {a}}_{1}\subseteq {\mathfrak {a}}_{2}\subseteq {\mathfrak {a}}_{3}\subseteq \ldots$

in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ stationär werden muss. Dies hat für absteigende Ketten von affin-algebraischen Teilmengen in einem affinem Raum folgende Konsequenz.

Satz

In einem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ wird jede absteigende Folge von abgeschlossenen Mengen

$V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$

stationär.

Beweis

Es sei

$V_{1}\supseteq V_{2}\supseteq \ldots$

eine absteigende Kette von affin-algebraischen Teilmengen im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$. Daraus folgt nach Fakt ${}\operatorname {Id} \,(V_{i})\subseteq \operatorname {Id} \,(V_{i+1})$ für die zugehörigen Verschwindungsideale. Nach Fakt wird diese Idealkette stationär, sagen wir für ${}i\geq i_{0}$. Nach Fakt  (3) ist ${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))$. Daraus folgt dann aber für ${}i\geq i_{0}$, dass

${}V_{i}=V(\operatorname {Id} \,(V_{i}))=V(\operatorname {Id} \,(V_{i+1}))=V_{i+1}\,,$

sodass die absteigende Kette stationär werden muss.

$\Box$

Es ergibt sich daraus durch Übergang zu den Komplementen, dass jede aufsteigende Kette von Zariski-offenen Mengen in einem affinen Raum stationär wird. Eine solche Topologie nennt man auch noethersch (generell nennt man eine (partielle) Ordnung, für die jede aufsteigende Kette stationär wird, noethersch). Für einen noetherschen Raum gilt: jede nichtleere Teilmenge von offenen Mengen (abgeschlossenen Mengen) besitzt ein maximales (minimales) Element. Dies kann man vorteilhaft als Beweisprinzip einsetzen (Beweis durch noethersche Induktion): Man möchte zeigen, dass eine gewisse Eigenschaft ${}E$ für alle abgeschlossenen Teilmengen gilt, und man betrachtet die Menge derjenigen abgeschlossenen Teilmengen, die ${}E$ nicht erfüllen. Man möchte zeigen, dass die Menge leer ist, und nimmt an, dass sie nicht leer ist. Dann besitzt sie auch ein minimales Element, und dies muss man dann zum Widerspruch führen. Die Gültigkeit dieses Beweisprinzips beruht darauf, dass man in einer nicht-leeren Menge ohne einem minimalen Element eine unendlich absteigende Kette konstruieren kann. Ein typisches Beispiel für dieses Beweisprinzip liefert der Beweis der folgenden Aussage.

Satz

Sei ${}V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ eine affin-algebraische Menge.

Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung ${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}$ mit irreduziblen Mengen ${}V_{i}$ mit ${}V_{i}\not \subseteq V_{j}$ für ${}i\neq j$.

Beweis

Die Existenz beweisen wir durch noethersche Induktion. Angenommen, nicht jede affin-algebraische Menge habe eine solche Zerlegung. Dann gibt es auch eine minimale Teilmenge, sagen wir ${}V$, ohne eine solche Zerlegung. ${}V$ kann nicht irreduzibel sein, sondern es gibt eine nicht-triviale Darstellung ${}V=V_{1}\cup V_{2}$. Da ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ echte Teilmengen von ${}V$ sind, gibt es für diese beiden jeweils endliche Darstellungen als Vereinigung von irreduziblen Teilmengen. Diese beiden vereinigen sich zu einer endlichen Darstellung von ${}V$, was ein Widerspruch ist.
Zur Eindeutigkeit. Seien

${}V=V_{1}\cup \ldots \cup V_{k}=W_{1}\cup \ldots \cup W_{m}\,$

zwei Zerlegungen in irreduzible Teilmengen (jeweils ohne Inklusionsbeziehung). Es ist

${}V_{1}=V_{1}\cap V=V_{1}\cap (W_{1}\cup \ldots \cup W_{m})=(V_{1}\cap W_{1})\cup \ldots \cup (V_{1}\cap W_{m})\,.$

Da ${}V_{1}$ irreduzibel ist, muss ${}V_{1}\subseteq W_{j}$ für ein ${}j$ sein. Umgekehrt ist mit dem gleichen Argument ${}W_{j}\subseteq V_{i}$ für ein ${}i$, woraus ${}i=1$ und ${}V_{1}=W_{j}$ folgt. Ebenso findet sich ${}V_{2}$ etc. in der Zerlegung rechts wieder, sodass die Zerlegung eindeutig ist.

$\Box$