Affiner Raum/Affiner Unterraum/Charakterisierung/Fakt/Beweis

Beweis

Im leeren Fall sind alle drei Bedingungen erfüllt, sei also ${}F$ nicht leer. ${}(1)\Rightarrow (2)$. Es sei ${}F=P+U$ mit ${}P\in F$ und einem Untervektorraum ${}U\subseteq V$. Dann ist ${}P_{i}=P+u_{i}$ mit einem ${}u_{i}\in U$. Nach Definition einer baryzentrischen Kombination ist

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}P_{i}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}{\overrightarrow {PP_{i}}}=P+\sum _{i=1}^{n}a_{i}u_{i}\,$

ein Element von ${}F$.

${}(2)\Rightarrow (3)$. Dies ist eine Abschwächung.

${}(3)\Rightarrow (1)$. Wir wählen einen Punkt ${}P\in F$ und betrachten

${}U:={\left\{{\overrightarrow {PQ}}\mid Q\in F\right\}}\subseteq V\,.$

Es ist ${}0\in U$. Zu ${}Q,Q'\in F$ gehören nach Voraussetzung auch ${}-P+2Q$ und ${}-P+2Q'$ zu ${}F$. Damit gehört wiederum auch

${}{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q\right)}+{\frac {1}{2}}{\left(-P+2Q'\right)}=-P+Q+Q'\,$

zu ${}F$, wobei die Gleichheit auf Aufgabe beruht. Dieser Punkt ist aber gleich

${}P-{\overrightarrow {PP}}+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}=P+{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}\,,$

sodass ${}{\overrightarrow {PQ}}+{\overrightarrow {PQ'}}$ zu ${}U$ gehört. Somit ist ${}U$ abgeschlossen unter der Vektoraddition. Es sei ${}Q\in F$ und ${}s\in K$. Dann gehört nach Voraussetzung auch

${}(1-s)P+sQ=P+s{\overrightarrow {PQ}}\,$

zu ${}F$ und damit gehört ${}s{\overrightarrow {PQ}}$ zu ${}U$. Also ist ${}F=P+U$ mit einem Untervektorraum ${}U$.

Zur bewiesenen Aussage