Affiner Raum/Affiner Unterraum/Durchschnittseigenschaft/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn der Durchschnitt leer ist, so gilt die Aussage nach Definition. Es sei ${}P\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$. Wir können die affinen Unterräume als

${}F_{i}=P+U_{i}\,$

mit Untervektorräumen ${}U_{i}\subseteq V$ schreiben. Sei

${}U=\bigcap _{i\in I}U_{i}\,,$

was nach Fakt  (1) ein Untervektorraum ist. Wir behaupten

${}\bigcap _{i\in I}F_{i}=P+U\,.$

Aus ${}Q\in \bigcap _{i\in I}F_{i}$ folgt

${}Q=P+u\,$

mit ${}u\in \bigcap _{i\in I}U_{i}$, sodass ${}Q\in P+U$ liegt. Umgekehrt folgt aus ${}Q\in P+U$ direkt ${}Q\in P+U_{i}=F_{i}$.

Zur bewiesenen Aussage