Affiner Raum/Affiner vierdimensionaler Raum als 2x2-Matrizen/Determinante/Beispiel

Eine ${}2\times 2$-Matrix

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{pmatrix}}$

ist durch die vier Zahlen ${}a_{11},a_{21},a_{12},a_{22}\in K$ eindeutig festgelegt. Man kann eine solche Matrix also mit einem Punkt im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{4}}$ identifizieren. Bei dieser Interpretation ist es sinnvoll, die Variablen mit ${}X_{11},X_{21},X_{12},X_{22}$ zu bezeichnen. Man kann sich dann fragen, welche Eigenschaften von Matrizen sich durch algebraische Gleichungen beschreiben lassen. Wir diskutieren dazu einige typische Eigenschaften.

Eine obere Dreiecksmatrix liegt genau dann vor, wenn ${}a_{12}=0$ ist. Die Menge der oberen Dreiecksmatrizen ist also die Nullstellenmenge von ${}X_{12}$.

Eine invertierbare Matrix liegt vor, wenn ${}a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0$ ist. Die Menge der nicht invertierbaren Matrizen wird also durch die algebraische Determinantenbedingung ${}X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0$ beschrieben.

Eine Matrix beschreibt die Multiplikation mit einem Skalar, wenn sie eine Diagonalmatrix mit konstantem Diagonaleintrag ist. Diese Menge wird durch die drei Gleichungen ${}X_{12}=0,X_{21}=0$ und ${}X_{11}-X_{22}=0$ beschrieben.

Ein Element ${}\lambda \in K$ ist nach Fakt ein Eigenwert einer Matrix genau dann, wenn ${}\lambda$ eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms der Matrix ist, d.h. wenn

${}\det {\begin{pmatrix}\lambda -a_{11}&-a_{21}\\-a_{12}&\lambda -a_{22}\end{pmatrix}}=\lambda ^{2}-\lambda {\left(a_{11}+a_{22}\right)}+a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=0\,$

ist. In der linearen Algebra ist normalerweise die Matrix vorgegeben und man sucht nach Nullstellen ${}\lambda$ dieses Polynoms in einer Variablen. Man kann es aber auch umgekehrt sehen und ${}\lambda$ vorgeben, und das Nullstellengebilde

${}\lambda ^{2}-\lambda (X_{11}+X_{22})+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0\,$

in den vier Variablen untersuchen. Diese Gleichung beschreibt also die Menge aller Matrizen, die ${}\lambda$ als Eigenwert besitzen.

Entsprechend besitzt eine Matrix genau dann die beiden Eigenwerte ${}\lambda \neq \delta$, wenn

$\lambda ^{2}-\lambda (X_{11}+X_{22})+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0{\text{ und }}\delta ^{2}-\delta (X_{11}+X_{22})+X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=0$

ist. Die Differenz der beiden Gleichungen ist

${}\lambda ^{2}-\delta ^{2}-(\lambda -\delta )(X_{11}+X_{22})=0\,,$

die eine solche Matrix erst recht erfüllen muss. Wegen ${}\lambda \neq \delta$ kann man das als

${}X_{11}+X_{22}=\lambda +\delta \,$

schreiben. Für eine Matrix nennt man die Summe der Diagonaleinträge die Spur der Matrix. Die zuletzt hingeschriebene Gleichung besagt also, dass für eine Matrix mit Eigenwerten ${}\lambda \neq \delta$ die Spur die Summe dieser Eigenwerte sein muss.

Das charakteristische Polynom einer Matrix kann man auch schreiben als

$\lambda ^{2}-\lambda \cdot \operatorname {Spur} \,(M)+\operatorname {Det} \,(M),$

mit

$\operatorname {Spur} \,(M)=X_{11}+X_{22}\,\,{\text{ und }}\,\,\operatorname {Det} \,(M)=X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}.$

Insbesondere haben Matrizen genau dann das gleiche charakteristische Polynom, wenn ihre Spur und ihre Determinante übereinstimmen. Damit kann man auch sagen, dass die Menge der Matrizen mit einem vorgegebenen charakteristischen Polynom die Faser unter der Abbildung

${{\mathbb {A} }_{K}^{4}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{2},\,M\longmapsto (\operatorname {Spur} \,(M),\operatorname {Det} \,(M)),$

ist. Diese Abbildung ist durch einfache polynomiale Ausdrücke gegeben. Ist diese Abbildung surjektiv? Sehen die Fasern immer gleich aus, d.h., besitzt die Menge der Matrizen mit vorgegebener Spur und Determinante immer die gleiche Struktur, oder gibt es da Unterschiede? Es sei ${}s$ und ${}d$ vorgegeben. Dann geht es um die Lösungsmenge zu

$X_{11}+X_{22}=s\,\,{\text{ und }}\,\,X_{11}X_{22}-X_{12}X_{21}=d.$

Hierbei ist ${}X_{11}$ durch ${}X_{22}$ eindeutig festgelegt, und umgekehrt. Man kann daher eine Variable eliminieren, indem man ${}X_{22}=s-X_{11}$ setzt. Dann ergibt sich das „äquivalente“ System in den drei Variablen ${}X_{11},X_{12},X_{21}$, mit der einzigen Gleichung

$X_{11}(s-X_{11})-X_{12}X_{21}=d{\text{ bzw. }}X_{11}^{2}-sX_{11}+X_{12}X_{21}+d=0.$

Unter „äquivalent“ verstehen wir hier, dass die Lösungen des einen Systems mit den Lösungen des anderen Systems in einer Bijektion stehen, die durch Polynome gegeben ist. An dieser letzten Umformung sieht man, dass es stets eine Lösung geben muss: Man kann für ${}X_{11}$ einen beliebigen Wert vorgeben und erhält eine Gleichung der Form ${}X_{12}X_{21}=a$, die Lösungen besitzt.

Durch eine lineare Variablentransformation kann man die Gleichung noch weiter vereinfachen. Sie vorausgesetzt, dass ${}2$ in ${}K$ invertierbar ist (dass also die Charakteristik von ${}K$ nicht ${}2$ ist). Dann kann man mit ${}X=X_{11}-s/2$ (und mit $Y=X_{12},Z=X_{21}$)

${}X^{2}+YZ+c=0\,$

mit ${}c=-{\frac {s^{2}}{4}}+d$ schreiben. Daraus sieht man, dass die Gestalt der Matrizenmenge mit vorgegebener Spur und Determinante nur von ${}-{\frac {s^{2}}{4}}+d$ abhängt. In der Tat ist nun, wenn dieser Term null ist oder nicht, das Nullstellengebilde verschieden. Im ersten Fall hat es eine Singularität, im zweiten Fall nicht, wie wir später sehen werden.