Affiner Raum/Skalare Multiplikation/Quotient der Gruppenoperation/Projektiver Raum/Beispiel

Die Operation der Einheitengruppe ${}K^{\times }$ eines Körpers ${}K$ auf dem ${}K^{n}$ ($n\geq 2$) durch skalare Multiplikation besitzt den Nullpunkt als Fixpunkt und die Geraden durch den Nullpunkt ohne diesen als weitere Bahnen. Die zugehörige Operation auf dem Polynomring ${}R=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ (vergleiche Beispiel) besitzt bei unendlichem ${}K$ nur die Konstanten als invariante Polynome. Die Spektrumsabbildung

$\operatorname {Spek} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R^{G}\right)}$

ist also konstant und vermag nicht die Bahnen zu trennen. Nach Aufgabe gibt es bei ${}K=\mathbb {R}$ (oder ${}{\mathbb {C} }$) noch nicht einmal stetige Funktionen des ${}\mathbb {R} ^{n}$ in einen metrischen Raum, die die Bahnen trennen.

Wenn man hingegen den Nullpunkt herausnimmt, so ist der Bahnenraum nach Definition der projektive Raum über ${}K$, einer der wichtigsten Räume überhaupt. Dieser ist nicht das Spektrum eines kommutativen Ringes, er wird aber überdeckt durch offene Teilmengen, die Spektren zu kommutativen Ringen sind. Ein solches geometrisches Objekt nennt man ein Schema. Die skalare Multiplikation auf dem punktierten affinen Raum besitzt also einen sinnvollen Quotienten in der Kategorie der Schemata.