Algebra/Modul/Homomorphismenraum und Tensorierung/Fakt/Beweis

Beweis

Eine ${}S$-lineare Abbildung

$\theta \colon M\otimes _{R}S\longrightarrow S$

induziert über

$M\longrightarrow M\otimes _{R}S,\,m\longmapsto m\otimes 1,$

eine ${}R$-lineare Abbildung von ${}M$ nach ${}S$. Umgekehrt definiert eine ${}R$-lineare Abbildung ${}\psi$ von ${}M$ nach ${}S$ eine ${}R$-bilineare Abbildung

$M\times S\longrightarrow S,\,(m,s)\longmapsto s\psi (m),$

was eine ${}S$-lineare Abbildung von ${}M\otimes _{R}S$ nach ${}S$ festlegt. Diese beiden Zuordnungen sind invers zueinander.

Zur bewiesenen Aussage