Algebraische Differentialoperatoren/Einführung/3/Textabschnitt/latex
\inputfakt{Kommutativer Ring/Restklassenring/Differentialoperatoren/Fakt}{Lemma}{}
{
\faktsituation {Es sei $P$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
mit
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{P/ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {Dann induziert ein
\definitionsverweis {Differentialoperator}{}{}
\maabb {D} {P} {P
} {}
der Ordnung $\leq n$ einen Differentialoperator auf $R$ der Ordnung $\leq n$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{D( {\mathfrak a} )
}
{ \subseteq} { {\mathfrak a}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
\zwischenueberschrift{Der Modul der Hauptteile}
\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Kern der Multiplikation/Standarderzeuger/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann wird der Kern $\Delta$ der Multiplikation
\maabbeledisp {} {R \otimes_{ K } R } {R
} {f \otimes g} { fg
} {,}
als
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
bezüglich der ersten Komponente
\zusatzklammer {und insbesondere als Ideal in \mathlk{R \otimes_{ K } R}{}} {} {}
von den Ausdrücken
\mathl{g \otimes 1 -1 \otimes g}{} erzeugt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{\sum_i f_i \otimes g_i \in \Delta}{,} also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sum_i f_i g_i
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in $R$. Dann ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sum_i f_i \otimes g_i
}
{ =} { \sum_i f_i \otimes g_i - { \left( \sum_i f_i g_i \right) } \otimes 1
}
{ =} { \sum_i f_i \otimes g_i - \sum_i f_i g_i \otimes 1
}
{ =} { \sum_i { \left( f_i \otimes g_i - f_i g_i \otimes 1 \right) }
}
{ =} { \sum_i f_i { \left( 1 \otimes g_i -g_i \otimes 1 \right) }
}
}
{}
{}{.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Delta
}
{ \subseteq }{ R \otimes_{ K } R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P^{ n }_{ R {{|}} K }
}
{ \defeq} { R \otimes_{ K } R/ \Delta^{n+1}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
versehen mit der $R$-Multiplikation in der ersten Komponente, den $n$-ten
\definitionswort {Modul der Hauptteile}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.} Dann nennt man die
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {d^n} {R} { P^{ n }_{ R {{|}} K } = R \otimes_{ K } R/ \Delta^{n+1}
} {f} { 1 \otimes f
} {,}
den
\definitionswort {universellen Differentialoperator}{}
der Ordnung $n$.
}
Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar
\mathl{( P^{ n }_{ R {{|}} K } ,d^n)}{.}
\inputfaktbeweis
{Algebra/Modul der Hauptteile/Universeller Operator/Produkteigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann erfüllt der
\definitionsverweis {universelle Differentialoperator}{}{}
der Ordnung $n$ die Produktformel
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ d^n (f_0 \cdots f_n)
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot d^n { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
für
\mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_n \in R}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ { \left( 1 \otimes f_0 - f_0 \otimes 1 \right) } \cdot { \left( 1 \otimes f_1-f_1 \otimes 1 \right) } \cdots { \left( 1 \otimes f_n -f_n \otimes 1 \right) }
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \} } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i
}
{ =} {1 \otimes f_0 \cdots f_n + \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n \},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und dieses Element gehört zu $\Delta^{n+1}$, ist also gleich $0$ im Hauptteilmodul. Somit ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ d^n(f_0 \cdots f_n)
}
{ =} { 1 \otimes f_0 \cdots f_n
}
{ =} { -\sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } } \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \otimes \prod_{i \notin I} f_i
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot d^n { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
}
{}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Algebra/Modul der Hauptteile/Universelle Konstruktion über Produkteigenschaft/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ eine kommutative
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mathl{n \in \N}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Hauptteilmodul}{}{}
\mathl{(P^{ n }_{ R {{|}} K } ,d^n)}{} kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen
\mathbed {df} {}
{f \in R} {}
{} {} {} {,}
erzeugten $R$-Modul, der den Identifizierungen
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{d (af+bg)
}
{ =} {a df+bdg
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mathl{f,g \in R}{} und
\mathl{a,b \in K}{,}
} {
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ d (f_0 \cdots f_n)
}
{ =} { \sum_{I \subseteq \{0 , \ldots , n\},\, I \neq \emptyset } (-1)^{ { \# \left( I \right) } +1} \prod_{i \in I} f_i \cdot d { \left( \prod_{i \notin I} f_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
für
\mathl{f_0,f_1 , \ldots , f_n \in R}{,}
}
genügt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als
\mathl{(U_n,d)}{,} wobei $d$ die kanonische Abbildung
\maabbeledisp {} {R} {U_n
} {f} {[df]
} {,}
bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach
Fakt
einen kanonischen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {U_n} { P^{ n }_{ R {{|}} K }
} { [df]} { 1 \otimes f
} {.}
Die Abbildung
\maabbeledisp {} {R \times R} { U_n
} {(r,f)} { r [df]
} {,}
ist
$K$-\definitionsverweis {bilinear}{}{}
und induziert damit einen $R$-Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { R \otimes_{ K } R } { U_n
} {.}
Wegen der Produkteigenschaft von $U_n$ geht dabei $\Delta^ {n+1}$ auf $0$
\zusatzklammer {siehe den Beginn des Beweises von
Fakt} {} {}
und man erhält einen $R$-Modulhomomorphismus
\maabbdisp {} { R \otimes_{ K } R/\Delta^{n+1} = P^{ n }_{ R {{|}} K } } { U_n
} {.}
Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.
Wir bezeichnen zu einem Monom
\mathl{\lambda \in \N^k}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D^\lambda
}
{ =} { { \left( \partial_{X_1} \right) }^{\lambda_1} \circ \cdots \circ { \left( \partial_{X_k} \right) }^{\lambda_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
diesen Differentialoperator auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_k]}{.} Der Ausdruck
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ \lambda! } } D^\lambda
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \lambda! } } { \left( \partial_{X_1} \right) }^{\lambda_1} \circ \cdots \circ { \left( \partial_{X_k} \right) }^{\lambda_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist ebenfalls ein Differentialoperator, und zwar auch in positiver Charakteristik. Dabei werden die partiellen Ableitungen auf ein Monom $X^\nu$ direkt angewendet, allerdings werden die Exponenten, die beim differenzieren zu Skalaren werden, zuerst in $\Z$ behalten und dann mit der Fakultät im Nenner verarbeitet. Das Ergebnis wird dann im Körper interpretiert. Ein Ausdruck der Form $D^\lambda$, wobei eine Komponente von $\lambda$ negativ ist, ist als $0$ zu interpretieren.
\inputfaktbeweis
{Differentialoperatoren/Hauptteilring/Ableitungsbeschreibung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]}{} Polynome mit dem Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R \otimes_K R
}
{ \cong} { R[A_1 , \ldots , A_k]/ { \left( G_1 , \ldots , G_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G_i
}
{ =} { \sum_\lambda G_ {i, \lambda } A^\lambda
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_{i, \lambda }
}
{ =} { { \frac{ \partial^\lambda }{ \lambda ! } } { \left( F_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir arbeiten mit der Beschreibung
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{R \otimes_{ K } R
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_k ] / { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) } \otimes_{ K } K[X_1 , \ldots , X_k ] /{ \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_k , \tilde{X}_1 , \ldots , \tilde{X}_k ] /{ \left( F_1 , \ldots , F_m , \tilde{F}_1 , \ldots , \tilde{F}_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei $\tilde{F_i}$ aus $F_i$ entsteht, indem man $X_j$ durch
\mathl{\tilde{X}_j}{} ersetzt. Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ A_j
}
{ =} { \tilde{X_j} - X_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
an und schreiben den Ring als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K[X_1 , \ldots , X_k, A_1 , \ldots , A_k ]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m, G_1 , \ldots , G_m \right) }
}
{ =} { R[ A_1 , \ldots , A_k ]/ { \left( G_1 , \ldots , G_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G_i
}
{ =} { \tilde{F_i}
}
{ =} { F_i { \left( \tilde{X}_1 , \ldots , \tilde{X}_k \right) }
}
{ =} { F_i { \left( X_1+A_1 , \ldots , X_k+A_k \right) }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Betrachte ein Monom
\mathl{X_1^{\nu_1} \cdots X_k^{\nu_k}}{} aus einem $F$. In die Gleichung $G$ geht dies in der Form
\mathdisp {( X_1+A_1)^{\nu_1} \cdots (X_k+A_k)^{\nu_k}} { }
ein. Ausmultiplizieren ergibt
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} A_1^{\lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} A_k^{\lambda_k}
}
{ =} { \sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} A_1^{\lambda_1} \cdots A_k^{\lambda_k}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Auf das Monom $A^\lambda$ in $G$ bezieht sich also der Term
\mathdisp {\binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k}} { . }
Dies stimmt mit
\mathdisp {{ \frac{ \partial^\lambda }{ \lambda ! } } { \left( X^\nu \right) }} { }
überein.
\inputdefinition
{}
{
Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]}{} Polynome. Zu
\mathl{n \in \N}{} sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{ { \left\{ (\mu,i) \mid \mu \in \N^k \text{ mit } \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1 , \, 1 \leq i \leq m \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J
}
{ = }{ { \left\{ \nu \mid \nu \in \N^ k \text{ mit } \operatorname{grad} \, (\nu) \leq n \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann nennt man die
$I \times J$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit Einträgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{( \mu,i ; \nu)}
}
{ =} { { \frac{ \partial^{\nu - \mu} }{ (\nu - \mu )! } } { \left( F_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die $n$-te
\definitionswort {Jacobi-Taylor-Matrix}{.}
} Diese Matrizen bezeichnen wir mit $J_n$. Man kann sie über dem Polynomring und über dem Restklassenring interpretieren, wobei die letztere Bedeutung wichtiger ist.
In drei Variablen und einer Gleichung $F$ sieht die transponierte zweite Jacobi-Taylor-Matrix über dem Restklassenring so aus \zusatzklammer {über dem Polynomring steht in der Diagonalen noch $F$} {} {.}
\mathdisp {\begin{pmatrix} & 1 & A & B & C \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ A & \partial_X (F) & 0 & 0 & 0 \\ B & \partial_Y (F) & 0 & 0 & 0 \\ C & \partial_Z (F) & 0 & 0 & 0 \\ A^2 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_X \partial_X (F) & \partial_X (F) & 0 & 0 \\ AB & \partial_X \partial_Y (F) & \partial_Y (F) & \partial_X (F) & 0 \\ AC & \partial_X \partial_Z (F) & \partial_Z (F) & 0 & \partial_X (F) \\ B^2 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_Y \partial_Y (F) & 0 & \partial_Y (F) & 0 \\ BC & \partial_Y \partial_Z (F) & 0 & \partial_Z (F) & \partial_Y (F) \\ C^2 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \partial_Z \partial_Z (F) & 0 & 0 & \partial_Z (F) \end{pmatrix}} { }
\inputfaktbeweis
{Polynome/Hauptteilmodul/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]}{} Polynome mit dem Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt der Modul der Hauptteile eine Darstellung
\zusatzklammer {eine exakte Sequenz von $R$-Moduln} {} {}
\mathdisp {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n - 1, \, 1 \leq i \leq m } R e_{\mu ,i} \stackrel{M} { \longrightarrow }\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_{\lambda } \longrightarrow P^n_{R {{|}} K} \longrightarrow 0} { , }
wobei $M$ die transponierte $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund von
Fakt
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P^n_{R{{|}} K}
}
{ =} {R \otimes_K R /\Delta^{n+1}
}
{ \cong} { R[A_1 , \ldots , A_k]/ { \left( G_1 , \ldots , G_m , A^\lambda , \operatorname{grad} \, (\lambda) \geq n+1 \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Insbesondere bilden die Monome
\mathbed {A^\lambda} {}
{\operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n} {}
{} {} {} {,}
ein $R$-Modul-Erzeugendensystem von $P^n_{R {{|}} K}$ und es gibt eine surjektive Abbildung
\maabbeledisp {} {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_\lambda } { P^n_{R {{|}} K}
} {e_\lambda} {A^\lambda
} {.}
Derjenige Teil des von den $G_i$ erzeugten Ideals, das einen Grad $\leq n$ besitzt, wird als $R$-Modul von allen
\mathdisp {A^\mu G_i = A^\mu { \left( \sum_\lambda G_{i, \lambda} A^\lambda \right) } , \, \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1, \, 1 \leq i \leq m} { , }
erzeugt. Somit wird der Kern der Abbildung durch alle $\lambda$-Tupel
\mathdisp {C_{\mu, i} = { \left( C_{\nu; \mu,i } \right) } \text{ mit } C_{\nu; \mu,i} = G_{i, \nu-\mu } ,\, \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1, \, 1 \leq i \leq m} { , }
erzeugt, wobei
\mathl{G_{i, \nu-\mu }}{} als $0$ zu interpretieren is, falls eine Komponente negativ wird. Der Kern ist also das Bild der Abbildung
\maabbeledisp {} {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n-1,\, 1 \leq i \leq m } R e_{\mu,i} } {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_\lambda
} {e_{ \mu,i}} { C_{\mu, i}
} {.}
Der Eintrag der beschreibenden Matrix zum Zeilenindex $\nu$ und zum Spaltenindex
\mathl{(\mu,i)}{} ist
\mathdisp {G_{i, \nu - \mu} = { \frac{ 1 }{ (\nu-\mu)! } } D^{\nu - \mu} (F_i)} { }
nach
Fakt.
Dies ist die transponierte Matrix zur Jacobi-Taylor-Matrix.
\inputfaktbeweis
{Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]}{} Polynome mit dem Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann entsprechen die
\definitionsverweis {Differentialoperator}{}{}
der Ordnung $\leq n$ auf $R$ den Elementen des Kernes der $n$-ten
\definitionsverweis {Jacobi-Taylor-Matrix}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir arbeiten mit der exakten Sequenz
\mathdisp {\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\mu) \leq n - 1, \, 1 \leq i \leq m } R e_{\mu ,i} \stackrel{ { J_n^{ \text{tr} } } } { \longrightarrow } \bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_{\lambda } \longrightarrow P^n_{R {{|}} K} \longrightarrow 0} { }
aus
Fakt,
wobei $J_n$ die $n$-te Jacobi-Taylor-Matrix bezeichnet. Ein Differentialoperator auf $R$ ist das gleiche wie eine $R$-Linearform auf
\mathl{P^n_{R {{|}} K}}{.} Dies wiederum ist das gleiche wie eine $R$-Linearform $\varphi$ auf
\mathl{\bigoplus_{ \operatorname{grad} \, (\lambda) \leq n } R e_{\lambda }}{}
\zusatzklammer {also einfach ein $R$-Tupel $a_\lambda$} {} {,}
die die Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi \circ { J_n^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erfüllt. Dies ist äquivalent zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J_n \circ { \varphi^{ \text{tr} } }
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Polynome/Differentialoperatoren/Jacobi-Taylor-Beschreibung/Partielle Ableitungen im Polynomring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\mathl{F_1 , \ldots , F_m \in K[X_1 , \ldots , X_k]}{} Polynome mit dem Restklassenring
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { K[X_1 , \ldots , X_k]/ { \left( F_1 , \ldots , F_m \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann wird ein durch ein $\lambda$-Tupel
\mathl{{ \left( a_\lambda \right) }}{} im Sinne von
Fakt
gegebener
\definitionsverweis {Differentialoperator}{}{}
auf $R$ auf dem Polynomring
\mathl{K[X_1 , \ldots , X_k]}{} durch
\mathdisp {\sum_\lambda a_\lambda { \frac{ \partial^\lambda }{ \lambda! } }} { }
repräsentiert.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Der universelle Operator
\maabb {d^n} {R} {P^n_{R{{|}} K}
} {}
sendet ein Monom
\mathl{X^\nu}{} auf
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ 1 \otimes X^\nu
}
{ =} { 1 \otimes X_1^{\nu_1} \cdots X_k^{\nu_k}
}
{ =} { \tilde{X}_1^{\nu_1} \cdots \tilde{X}_k^{\nu_k}
}
{ =} { (X_1+A_1)^{\nu_1} \cdots (X_k+A_k)^{\nu_k}
}
{ =} { \sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} A_1^{\lambda_1} \cdots A_k^{\lambda_k}
}
}
{}
{}{.}
Die Verknüpfung mit der durch ${ \left( a_\lambda \right) }$ gegebenen Linearform auf
\mathl{P^n_{R{{|}} K}}{}
ergibt somit
\mathdisp {\sum_{\lambda \leq \nu} \binom { \nu_1 } { \lambda_1 } \cdots \binom { \nu_k } { \lambda_k } X_1^{\nu_1- \lambda_1} \cdots X_k^{\nu_k- \lambda_k} a_\lambda} { . }
Dies stimmt mit
\mathdisp {\sum_\lambda a_\lambda { \frac{ 1 }{ \lambda! } } { \left( { \frac{ \partial }{ \partial X } } \right) }^\lambda { \left( X^ \nu \right) }} { }
überein.
Eine Zeile in der transponierten Jacobi-Taylor-Matrix hat die Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Z_\nu
}
{ =} { { \left( { \frac{ 1 }{ (\nu -\mu)! } } D^{ \nu-\mu}(F_i) \, , (\mu,i) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}